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1、1 分数乘法分数乘法 一、分数乘法一、分数乘法 （一）、分数乘法的计算法则：（一）、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分整数和分母约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 （二） 、规律：（乘法中比较大小时）（二） 、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。 一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数
2、。 （三） 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（三） 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 （四） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。（四） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律： a b = b a 乘法结合律： ( a b )c = a ( b c ) 乘法分配律： （ a + b ）c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）c（ a + b ）c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）c 二、分数乘法的解决问题二、分数乘法的解决问题 （已知单位“1”
3、的量（用乘法）（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占” 、 “是” 、 “比”的后找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占” 、 “是” 、 “比”的后 面面 2、求一个数的几倍 ： 一个数几倍 ； 求一个数的几分之几是多少 ： 一个数。 几 几 3、写数量关系式技巧： （1） “的” 相当于 “” “占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ”（1） “的” 相当于 “” “占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ” （2）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“的”： 单位“1”
4、的量分率=分率对应量 2 （3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量 三、倒数三、倒数 1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。乘积是 1 的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 （要说清谁是谁的倒数） 。 2、求倒数的方法： （1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数 ： 把带分数化为假分数，再求倒数。 （4）、求小数的倒数： 把小数化为
5、分数，再求倒数。 3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数1 的倒数是 1； 0 没有倒数。 。 因为 11=1； 0 乘任何数都得 0，（分母不能为 0） 0 1 4、 对于任意数，它的倒数为；非零整数的倒数为；分数的倒数是； (0)a a 1 a a 1 a b a a b 5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。 分数除法分数除法 一、分数除法一、分数除法 1、分数除法的意义： 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数 的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 3、规律（分数除法
6、比较大小时）：（1） 、当除数大于 1，商小于被除数； （2） 、当除数小于 1（不等于 0） ，商大于被除数；（3） 、当除数等于 1，商等于被除数。 4、 “”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题二、分数除法解决问题 （未知单位“1”的量（用除法） ：（未知单位“1”的量（用除法） ： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的 量。 ） 3 1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： （1）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量（1）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量 （2）分
7、率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答） （1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。 （2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 （2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数另一个数一个数另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 求多几分之几：大数小数 1 大数小数 1 求少几分之几： 1 - 小数大数 1 - 小数大数 或 求多几分之几（大数-小数）小数（
8、大数-小数）小数 求少几分之几：（大数-小数）大数（大数-小数）大数 三、比和比的应用三、比和比的应用 （一）、比的意义（一）、比的意义 1、比的意义：两个两个数相除相除又叫做两个数的比比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除 以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 1510= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 2 3 前项 比号 后项 比值 3、 比可以表示两个相同量的关系， 即倍数关系。 也可以表示两个不同量的比， 得到一个新量。 例： 路程速度=时间。 4、区分比和比值 比比：表示两个数两个数的关系，可以写成比的形
9、式，也可以用分数表示。 比值比值：相当于商，是一个数一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 4 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、比和除法、分数的联系： 比前 项比号“：”后 项比值 除 法被除数除号“”除 数商 分 数分 子分数线 “” 分 母分数值 7、7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。 体育比赛中出现两队的分是 2： 0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二） 、比的基本性质（二） 、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的
10、性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外） ，分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 2、2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （1） 两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整 数比的方法来化简。 两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。 （2）用求比值的方法。注意: 最后结果
11、要写成比的形式。 如： 1510 = 1510 = = 32 2 3 5按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 如： 已知两个量之比为，则设这两个量分别为。:a baxbx和 6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为 5：4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。 （如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3） 依 据 比 的 基 本 性 质： 5 圆 圆 一、认识圆一、认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心
12、。 一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 2 1 用字母表示为：d2r 或 r 2 d 8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是
13、轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。 （经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线） 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有 2 条对称轴的图形是： 长方形 只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形 只有 4 条对称轴的图形是： 正方形; 有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 二、圆的周长二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 6 发现一般
14、规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。 3圆周率：任意一个圆的周长周长与它的直径直径的比值比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率圆周率。 用字母 （pai） 表示。 （1）、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。 （2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。 （3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式圆的周长公式： ： C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个
15、长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分区分周长的一半周长的一半和和半圆的周长半圆的周长： （1）（1）周长的一半周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：计算方法：2 r 2 即 r r （2）（2）半圆的周长：半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法计算方法：r2r r2r 三、圆的面积三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。 2、 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式的推导： （1） 、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复 杂为简单，化抽象为具体。 （2） 、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 （3） 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 宽 7 所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S 圆 = r r 圆的面积公式： S 圆的面积公式： S圆 圆 = r = r2 2 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（Rr环的宽度） S环 = R 或 环形的面积公式： S环形的面积公式：
