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1、c b a 高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探 讨 在高中数学的学习中,同学们接触到向量的概念,并了解其性质、线性运算、坐标表 示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上,可进一步深化,引入向量的叉乘运算, 能够提升对向量的理解,方便问题的解决。 1. 叉乘的定义 【1】 要确定一个向量,需要知道它的模和方向。 如图 1,对于给定的向量a和b,规定向量 bac,满足: (1)模:babac,sin (2)方向:向量c的方向垂直于向量a和 b(向量a和b构成的平面) , 且符合 右手定则 : 用右手的食指表示向量a的方向,然后手指朝着 手心的方向摆动角度)0(到向量b的方向, 大拇指所指的方
2、向就是向量c的方向。 这里的也就是 ba, 。 这样的运算就叫向量的叉乘 ,又叫 外积 、向量积 。应特别注意的是,不同于向量的数 量积,向量的叉乘的结果仍是一个向量。 给定叉乘的定义后,就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。 2. 叉乘的性质 (1)显然有0aa (2)反交换律:和其他运算不同,向量的叉乘满足反交换律,即abba,这是 因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量,如果将二者顺序交换,则 一定要将手倒过来才能满足0,也就使得积向量反向。 (3)易得对数乘的结合律,即ab)()(baba 图 1 k j i z y x O (4)可以证明分配律:cbcacba)(
3、或cabacba)( 3. 叉乘的几何意义 如图2,在平面上取点 ,ba OBOAO,作bababa,sin ,由三角形面积 公式sin 2 1 abS可知ba表示以OBOA,为相邻两边的三角形的面积的两倍,也就是 以OBOA,为两边的平行四边形的面积。 C B A O OB OA 即 OABCOAB SS2ba 4. 叉乘的坐标表示 将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步,因为如果能在空间直角坐标 系中引入叉乘的坐标运算,许多问题将会得到极大简化。 要想得到叉乘运算的坐标表示,必须回到空间直角坐标系的根基单位正交基底出 发。给定一组单位正交基底kji,,为满足运算要求,应使kji,
4、符合右手 定则,即建立一个右手系,如图3。这样一来就有 ikj jki kji ijk jik kij 从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。 可设),(),( 321321321321 bbbbbbaaaaaakjibkjia 则ba)()( 321321 kjikjibbbaaa 由向量叉乘的分配律可知, ),( )()() )()()( 122131132332 12213113233 2 231332123121 231332123121 ( babababababa babababababa babababababa babababababa kji ijikjk jkikkjijkiji
5、原式 图 2 图 3 即),(),(),( 122131132332 321321 babababababa bbbaaa 这样,就完成了向量叉乘的坐标表示。 5. 叉乘的实际应用 (1)有了向量的叉乘的帮助,计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了 极大简化。 【例 1】已知空间内有一平行四边形ABCD ,且 A(1,3,2),B(2,3,1),C(5,6,3),求平 行四边形的面积。 【 分 析 】 按 照 常 规 解 法 , 应 用 求 空 间 角 的 公 式 求 出ACAB和的 夹 角 , 再 用 sin 2 1 abS等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助,可直接求ACAB,即为
6、所求面 积,从而使问题得到了极大简化,也减少了运算量。 【解答】)1,0,1(AB, )1 , 3, 4(AC 43 433)5(3 )3, 5, 3( 222 ABCD S ACAB ACAB (2)推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。 【2】 如图4,对于给定的直线l和点C,可在l上取点 BA,,则 AB ACAB ABC),(d 这是因为ACAB表示平行四边形 ABCD的面积,又等于),(dABCAB ? ,整理即 可得上式。 【例】已知点A(1,3,2), B(2,3,1),求点 C到直线 AB的距离 【解答】)1,0,1(AB, )1 , 3, 4(AC (D) C B A 图 2
7、 86 2 43 ),(d 433)5(3 )3 , 5, 3( 222 AB ACAB ABC ACAB ACAB (3)求平面的法向量 由于向量叉乘运算bac中bcac且,由立体 几何知识可知, 如果选取一个平面内两个不共线的向量,计 算它们的叉乘, 那么其积向量就可以作为平面的法向量。正 是由于法向量在立体几何中的广泛应用,这种方法也就可以 大展身手。 【例 3】ABCD 为边长为4 的正方形, GC 平面 ABCD , GC=2 ,E、F 分别是 AD 、AB的中点,求点B到平面 EFG的距 离。 【分析】 这是高中数学的常见问题。按照常规做法, 应利用数量积求出平面GEF的法向 量,
8、再利用点到平面距离公式求解。引入了向量的叉乘后,可以方便地求出平面GEF的法向 量。下面列出两种解法,以供比较。 【解法 1】如图 5,建立空间直角坐标系(坐标原点为C) ,则 A (4,4,0) ,B(0,4, 0) , D (4,0,0) ,E( 4,2,0) ,F(2, 4,0) , G (0,0,2) 。设平面EFG的一个法向量为 0)2,4 ,2(),()0 ,2, 2(),(),(?zyxzyxGFEFzyxnnn则 11 11 2 11 2 ),(d ) 3, 1 , 1 ( 3, 11 33 ? n n n BF EFGB zyx zyx ,则令 【解法 2】空间直角坐标系的建
9、立同解法1. 图 F E D B A G x z y 11 11 2 114 8 ),(d )12,4,4 )2,4 ,2(),0,2,2( ? n n n BF EFGB GFEFEFG GFEF (的法向量为平面 . 叉乘的物理意义 正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物 理情景,向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系, 下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力(安培力)为 例作简要说明。 如图 6,在磁感应强度为B,方向水平向左的匀强磁场中,有一段长为L 的导线通有电 流强度为I 的电流,导线与磁场成角。 由物理学规律可知 sinBILF 。 从数学的角度理解,虽然中学物理中电流强度I 被定义为标量, 但由于电流有方向,不 妨把 I 理解为矢量I,则sinsinIBLLIBF。又 F 垂直于 B和 L 所成的平面, 且符合物理学中的“左手定则”(类似于前面所提到的“右手定则”) ,故)(BILF 这样,就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起,再一次体现出数学和物理紧密结 合的特点,表现出科学世界的和谐与统一之美。 总之, 在高中数学所学知识的基础之上,引入向量的叉乘运算,又一次拓展了同学们的 视野,令人感受到数学的无穷魅力。 参考文献: 【】向量 _-_ 向量叉乘 _向量点乘 .doc 来自(向东来) 图 6 I,L B