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1、第3课时 数学归纳法,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,基础知识梳理,上述证明方法叫做数学归纳法用框图表示就是：,基础知识梳理,1数学归纳法适用于证明_类型的命题() A已知结论 B结论已知 C直接证明比较困难 D与正整数有关 答案：D,三基能力强化,A1 B2 C3 D0 答案：C,三基能力强化,三基能力强化,答案：D,三基能力强化,答案：2k,三基能力强化,5记
2、凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_. 答案：,三基能力强化,用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明nk1时命题成立，要从nk1时待证的目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用“k1”替换恒等式中的所有“n”,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思路点拨】证明等式是数学归纳法的应用之一，证明时，较为困难的是第二步，首先要弄清等式两边的构成规律，然后证明当n1时命题成立，再证如果nk时命题成立，那么nk1时命题也成立,课堂互动讲练,课堂互动讲练,那么(k1)212(k1)222k(k1)2k2(
3、k1)(k1)2(k1)2 (k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k),课堂互动讲练,当nk1时等式成立 由(1)(2)知，对任意nN*等式成立,课堂互动讲练,【误区警示】当nk1时易错写成(k21)2(k222)(k1)(k1)2(k1)2,整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法也可以说将式子“硬提公因式”，即将nk时的项从nk1时的项中“硬提出来”，构成nk时的项，后面的式子相对变形，使之与nk1时的项相同，从而达到利用假设的目的,课堂互动
4、讲练,课堂互动讲练,已知f(n)(2n7)3n9(n N*)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除,【思路点拨】用数学归纳法能证明整除问题，在由k过渡到k1时常用“配凑”的办法，要有目的地去“配凑”36的倍数式子和假设nk时的式子,课堂互动讲练,【证明】(1)当n1时，f(1)36，能被36整除 (2)假设nk(kN*)时，f(k)能被36整除， 即f(k)(2k7)3k9能被36整除； 当nk1时，2(k1)73k19 (2k7)3k1272723k19 3(2k7)3k918(3k11)，,由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，这就是说，当nk1时，f(n)也能被36整除
5、 由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除,课堂互动讲练,【名师点评】用数学归纳法证明整除问题的关键是“配凑”采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出归纳假设和倍数式子，从而由部分的整除性得出整体的整除性,课堂互动讲练,在几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需,课堂互动讲练,用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求
6、出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,课堂互动讲练,课堂互动讲练,用数学归纳法证明平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点则这n个圆将平面分成n2n2个部分,课堂互动讲练,【思路点拨】本题中找到第k1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两块，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决,【证明】(1)当n1时，即一个圆把平面分成2个部分，f(1)2，又n1时，n2n22，所以命题成立 (2)假设nk(k1且kN*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分 那么当nk1时，记第k1个圆为O.由题意
7、，O与其他k个圆相交于2k个点，这2k个点把O分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2部分，因此这个平面被圆分成的部分就增加了2k个，即：,课堂互动讲练,f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2， 也即nk1时命题成立 由(1)(2)可知，对任意nN*命题均成立 【思维总结】用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，由k过渡到k1时常利用几何图形来分析前后的变化情况，并用严谨的文字给予说明,课堂互动讲练,用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以
8、免出现判断失误，再猜出从某个n值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,即nk1时，命题成立 由(1)(2)可知，命题对所有nN*都成立 【思维总结】本题主要考查数列的递推关系；通项公式及前n项和公式，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力,课堂互动讲练,“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式,课堂互动讲练,课堂互动
9、讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(本题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一个根是Sn1，n1,2,3， (1)求a1，a2；(2)求an的通项公式 解：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，,课堂互动讲练,高考检阅,课堂互动讲练,(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0， Sn22Sn1anSn0. 当n2时，anSnSn1， 代入上式得Sn1Sn2Sn10(*),课堂互动讲练,下面用数学归纳法证明这个结论 n1时已知结论成立 假设当n
10、k(kN*，k1)时结论成立，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1数学归纳法 数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点： (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一步是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法时首先要注意的问题,规律方法总结,(2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”作为条件来推出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次 (3)寻找递推关系 在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的,规律方法总结,探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置 在写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚,规律方法总结,2.“归纳猜想证明”这类问题的证法 先归纳推理(依据特殊情形)猜想出一般结论，再用数学归纳法证明猜想结论的正确性一般地，数学研究与发现往往包括两个要素发现结论与证明结论(两者通常交织在一起)，发现结论往往通过合情推理，结论的正确性需要通过逻辑证明来确认,规律方法总结,谢谢观看！ 2020,
