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1、,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第六节,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1
2、. 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,由定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .可推广到有限个.,定理 3 . 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4 . 若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1
3、 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为无穷小,(详见P44),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6 . 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例4.,若,机动 目录 上页 下页 返回
4、结束,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 复合函数的极限运算法则,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,解:
5、 令,已知, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 . 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件！,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,作业,P20 .A:1,3，5,7,9 B:2,二、 两个重要极限,一、极限存在准则,第七节,机
6、动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),二、两个重要极限,(1),例3,解,(2),定义,类似地,例4,解,例5,解,例6. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,思考题,求极限,思考题解答,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,作业,P24 .A:1-2，4，6;2-2 B.,
