《第3章线性系统时域分析法解析课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章线性系统时域分析法解析课件（136页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第三章 线性系统的时域分析法,3.1 系统时间响应性能指标 3.2 一阶系统时域分析 3.3 二阶系统时域分析 3.4 高阶系统时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析和稳定判据 3.6 线性系统的稳态误差,3.1系统时间响应的性能指标,线性控制系统常用的分析方法: 时域分析法，根轨迹法、频域分析法 时域分析法： 控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态（动态）和稳态性能,时域分析,在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程和稳态过程组成。 动态过程 又称为过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过
2、程 稳态过程 指系统在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现形式。,稳定是系统能够运行的首要条件，只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义,3.1.1 典型输入信号,为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的响应过程。 常根据系统常见的工作状态来选取典型输入信号，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。,典型输入信号： 根据系统常遇到的输入信号的形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。,1.阶跃函数 如 电流突然接通、负载突变 2.斜坡函数（速度函数）,如 船闸升降、机床加工斜面,典型输入信号,3.加速度函数 4.正弦函数,如
3、 海浪的扰动力,5.单位脉冲函数与单位冲激函数 单位冲激函数的性质,时间响应的性能指标,通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能 动态性能指标： 稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的指标,假定：系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，输出量及各阶导数均等于零。,动态性能指标,1、上升时间tr 阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间。 若阶跃响应曲线不超过稳态值，则定义阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需时间为上升时间,2、峰值时间tp 阶跃响应曲线（超过稳态值）到达第一个峰值所需的时间称为峰值时间,单位阶跃响应,3、延迟时间 阶跃响应曲线第一次到达终值一半
4、所需的时间,4、超调量 5、调节时间ts 阶跃响应曲线到达并保持在允许误差范围所对应的时间称为过渡过程时间或称调节时间。误差范围常用终值的2%或 5%,6、振荡次数N 在0tts内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半称为振荡次数。,根据拉氏反变换的部分分式法可知， 有理分式C(S)的每一个极点（分母多项式的根）都对应于c(t)中的一个时间响应项，称为运动模态。 每种模态代表一种类型的运动型态。,运动模态,零极点与运动模态的关系,C(t)就是由C(s)的所有极点所对应的时间响应项（运动模态）的线性组合。 系统输出信号拉氏变换的极点是由传递函数的极点和输入信号拉氏变换的极点组成。,传递函数极点所对
5、应的运动模态称为系统的自由运动模态或振型(mode of vibration)。 传递函数的零点不形成运动模态，但却影响各模态在响应中所占的比重，因而，也影响时间响应及其曲线形状。 传递函数的极点对应的时间响应分量称为瞬（暂）态分量； 输入信号拉氏变换的极点对应的时间响应分量称为稳态分量;,零极点与运动模态的关系,3.2 一阶系统的时域分析,输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系 用一阶微分方程表示的系统称为一阶系统 常见的温度控制系统和液压控制系统中的被控对象都是一阶系统,将典型输入信号加入系统 通过分析系统时域响应来得到系统的性能指标（动态、稳态）,一阶系统的时域分析,1 单位阶跃响应,
6、稳态分量,暂态分量,延迟时间： 上升时间： 调节时间： 超调量： 稳态误差：,响应速度与时间常数T成反比，T越小，响应速度越快。,td=0.69T tr=2.2T ts=3T (=5%) 4T (= 2%) ess=0,2 一阶系统的单位冲激响应,R(s)1 可知，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同， 这时输出称为单位冲激响应，记作h(t),3 一阶系统的单位速度响应,Cs=t-T是稳态分量，也就是速度函数与输入信号斜率相同，时间滞后一个时间常数T。 Ct按指数规律衰减到零，衰减速度由极点决定,4 一阶系统的单位加速度响应,跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度
7、输入函数的跟踪。,表1:一阶系统对典型输入信号的响应,系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数 系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,3.3 二阶系统的时域分析,二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统 1. 典型二阶系统的数学模型,无阻尼自振角频率，单位是rad/s,阻尼比（相对阻尼系数），阻尼系数与临界阻尼系数的比值,两种二阶系统的典型形式,二阶系统的特征根,二阶系统的特征方程为：,特征根等于：,特征根分析,s1,s2为位于复平面的左半部的一对共轭复根,特征根分析,s1,s2为一对相等的负实根,阻尼比,特征根（闭环
8、极点）,无阻尼,过阻尼,临界阻尼,系统输出量发散,欠阻尼,分析当 取不同值时的二阶系统的时域响应C(t)及性能指标,针对不同的典型输入信号,二阶系统的时域响应,二阶系统的单位阶跃响应,(1)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应,有阻尼自振角频率,求反拉氏变换，可得,(1)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应,稳态响应为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差; 暂态响应为按指数衰减的正弦振荡形态，其振荡频率为,(1)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应,衰减的振荡,衰减速度与什么相关？,与特征根分布关系如何,阻尼比 的减小将导致系统响应的振荡加剧，且衰减速度变慢；,临界阻尼情况下的二阶系
9、统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,当 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调,单调上升过程,(2)临界阻尼( ),(3)过阻尼( ),1、过阻尼状态的两个特征根均为负实数，其响应为两个衰减的指数项的线性组合。 2、响应速度与两个特征根相关的两个时间常数共同决定 3、响应曲线是无振荡单，无超调，调上升。不同于一阶系统；,(3)过阻尼( ),（4） =0（零阻尼）,系统处于等幅振荡状态，振荡频率为n 反之，如果系统以n 做等幅震荡，则可以断定，系统特征根必有共轭虚根（对高阶系统也成立），系统处于临界稳定状态。,不稳定,单位阶跃响应,取不同值（ 0）时二阶系统的单位阶跃响应的曲线,二阶欠阻尼
10、单位阶跃响应性能指标,a.上升时间,当阻尼比一定时，系统响应速度与成正比 当n一定时，阻尼比越小，上升时间越短,b.峰值时间,c.超调量,阻尼比越大，超调量越小，反之亦然,d.调整时间,当阻尼比 时,e.,振荡次数N,动态性能指标：,反映系统阻尼程度,综合指标，反映响应速度与阻尼程度,反映系统响应速度,二阶系统欠阻尼情况的阶跃响应性能指标,在控制工程中，除了不容许产生振荡响应的系统，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统一般取,性能指标,已知系统参数，求系统性能指标 已知性能指标要求，调整系统参数,典型例题,例1 要求系统性能指标为,1、求解，n,求解 K
11、, KA,例2.如图所示单位反馈随动系统，K=16s-1,T=0.25s,求： （1）求 和ts; （2)若要求=16%，当T不变时K应当取何值？,解 （1）求出系统闭环传递函数为,因此有：,（2）为使 =16%，由式,当T=0.25不变时，则有,二阶系统性能的改善,例3. 加入速度反馈后，对系统性能指标有何影响？,可增大阻尼比，减小超调量,3. 二阶系统的单位脉冲响应,方法一： 定义 方法二：对系统闭环传递函数直接进行拉氏反变换，得不同值时二阶系统的单位脉冲响应 . 方法三：利用线性定常系统的齐次性，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，即可得到二阶系统的单位脉冲响应。,1，即为临界阻尼或过阻
12、尼，脉冲响应g(t)不改变符号； 单位脉冲响应曲线第一次与时间轴交点的时间为峰值时间tp;,3.4 高阶系统的时间响应,常见高阶系统的单位阶跃响应如下图所示：,主导极点,求高阶系统的时间响应很是困难，通常将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。这就是所谓的主导极点的概念,高阶系统中离虚轴最近的极点，如与虚轴的距离小于其他极点离虚轴距离的1/5，且该极点附近没有零点，可以认为系统的响应主要由该极点决定，称之为主导极点。 非主导极点对应时
13、间响应在上升时间之前能基本衰减完，只影响0 tr一段，对过渡时间ts等性能指标无影响。 主导极点可为实数，也可为共轭复数。具有一对共轭复数主导极点的高阶系统可当作二阶系统分析。,主导极点,高阶系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量 稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点决定，即输入信号决定 暂态分量就是系统的自由运动模态，形式由传递函数极点决定。,高阶系统时间响应,高阶系统时间响应,1、暂态分量的各个运动模态衰减的快慢取决于对应的极点和虚轴的距离，越远衰减得越快。 2、各模态对应的系数和初相角取决于零极点的分布。若某一极点越靠近零点，则相应的系数越小。若某极点远离零点，越靠近原点和其
14、他极点则相应系数越大。 3、系统零点和极点共同决定了系统响应曲线形状。对系数很小的运动模态或衰减很快的运动模态可以忽略，这时高阶系统就近似为较低阶系统。,稳定性是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 不稳定的系统会在微小的扰动作用下偏离原平衡态，并随时间的推移而发散,3.5 线型定常系统的稳定性,平衡位置的稳定性,力学系统中，外力为零时，位移保持不变的位置称平衡位置。 平衡位置的稳定性取决于：扰动消失后，系统能否能自行返回到原平衡位置。 悬挂的摆，垂直位置是稳定平衡位置。 倒立的摆，垂直位置是不稳定平衡位置。,控制系统的稳定性,不论扰动引起的初始偏差有多大，扰动消失后
15、，系统能够以足够的准确度恢复到初始平衡态，此类系统称为大范围稳定系统。 如只有扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在扰动消失后恢复初始平衡态，此类系统称为小范围稳定系统。 稳定的线性系统必然在大范围内和小范围内都稳定。,假设系统具有一个平衡工作点，在该平衡工作点上，当输入信号为零时，系统的输出信号也为零。,控制系统稳定性,1892年 俄国学者 李雅普诺夫,控制系统稳定性,控制系统稳定性： 线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原工作点），则称系统渐进稳定，简称稳定； 反之，若在初始扰动下，系统动态过程随时间推移而发散则称系统不稳定。 线性系统的稳定性仅取决于
16、系统自身的固有特性，与外界条件无关,线性定常系统微分方程一般形式：,线性系统稳定的条件,考虑初始条件，对上式取拉氏变换：,线性系统稳定,闭环特征方程式的根都位于S的左半平面,充要条件,线性系统稳定的条件,系统稳定性几点说明,1、线性系统的稳定性是系统的固有特征（结构、参数），与系统输入信号无关，而非线性系统常与外界信号有关。 2、稳定系统，输出信号中的暂态分量都趋于零。 3、线性定常系统，如不稳定，输出信号将随时间的推移趋于无限大。 实际系统，系统不稳定，其物理变量往往形成大幅值的等幅振荡或趋于所能达到的最大值。,4、如有闭环极点实部为零（位于虚轴上），其余极点都具有负实部，这时称系统为临界稳定。 此时，系统输出信号将出现等幅振荡，振荡的角频率就是纯虚根的正虚部。反之，如做等幅振荡，可知有纯虚根。 工程上，临界稳定属于不稳定，因为参数的微小变化会使极点具有正实部而导
