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1、第七节 空间向量及其运算,三年10考 高考指数: 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4.掌握向量的长度公式，两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题.,1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角问题的基础 2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及分析问题、解决问题的能力,1.空间向量的有关概念及线性运算 (1
2、)空间向量的概念,模为_的向量,长度（模）为_的向量,方向_且模_的向量,方向_且模_的向量,表示空间向量的有向线段所 在的直线互相_的 向量,平行于同一个_的向量,的相反向量为,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,(2)空间向量的加、减、数乘运算 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广 如图，设 , 是空间任意两向量，若 POC， 加法： 减法： 数乘：,(3)空间向量加法、数乘运算满足的运算律 交换律： 结合律： (R,R)， 分配律： (R).,【即时应用】 判断下列命题的正误(请在括号内填“”或“”) (1)空间任意五边形ABCDE，则 0 ( ) (2)若ab，
3、则a所在直线与b所在直线平行 ( ) (3)空间任意两非零向量a、b共面 ( ) (4)空间向量a平行于平面，则a所在直线平行于平面 ( ),【解析】由向量加法知(1)正确；当ab时，a与b所在直线平 行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面内，故(4)是错误的 答案：(1) (2) (3) (4),2空间向量的有关定理,a=b,p=xa+yb,基向量,+zc,p=xa+yb,【即时应用】 （1）已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)，若ab，则=_ (2)已知向量a,b,c是空间
4、的一个单位正交基底，向量a+b, a-b,c是空间的另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下 的坐标为( )，则向量p在基底a,b,c下的坐标为 _,【解析】（1）由ab得a=kb，从而得 解得 故= （2）由条件得p= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3c，故向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3) 答案:（1） (2)(1,2,3),3空间向量的数量积及运算律,(1)结合律：,(2)交换律：,(3)分配律：,AOB,0 ,（特殊情形= ）,【即时应用】 （1）思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于向量a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=
5、0吗？ 提示：不一定，因为当a0且b0时，若ab，也有ab=0,（2）已知向量a与b的夹角为120，且a=b=4，那么b(2a+b)等于_ 【解析】b(2a+b)=2ba+b2=244cos120+42=0 答案:0,4.空间向量的坐标运算 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3).( 均为非零向量),a1b1+a2b2+a3b3=0,a1b1+a2b2+a3b3,【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 与 的夹角的大小是_ (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则b-a的最小值为_. 【解析】(1)由题意知 =
6、(-2,-1,3)， =(-1,3,-2)， 故 所以= ,(2) 由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)， b-a= 当t= 时，b-a取得最小值为 答案:(1) (2),空间向量的线性运算 【方法点睛】 空间向量线性运算的方法,空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同 【提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点进行向量减法时，必须使两向量共起点,【例1】(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中 点化简 _； 用 表示 ，则 =_.,(2)(2012中山模拟)向量a=(3,5
7、,-4),b=(2,1,8)计算2a+3b,3a-2b的值. 【解题指南】(1)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算. (2)根据向量坐标运算的法则解题即可；,【规范解答】(1) 方法一： 方法二：,答案： (2)2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)= (6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)； 3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16) =(5,13,-28),【互动探究】本例中(1)的条件不变,结论改为：设E是棱DD1上 的点，且 ，若 ，试求x,y,z的 值 【解析】,【反思感悟】1空间向量的坐
8、标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式 2用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来,【变式备选】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 =a, =b, =c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用 a,b,c表示下列各向量： (1) ； (2) ； (3),【解析】,a+ b+c;,-a+b+ c;,a+ b+ c.,共线向量定理、共面向量定理的应用 【方法点睛】 1.证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的
9、问题，如证明 A,B,C三点共线，即证明 共线，亦即证明 (0),2.证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A, B,C四点共面，只要能证明 或对空间任一点O， 有 或 (x+y+z=1)即 可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充 要条件,【例2】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明： (1)E，F，G,H四点共面； (2)BD平面EFGH.,【解题指南】(1)证明 ，根据共面向量定理即可得 到结论；或证明FGEH，即可得到FG,EH确定一平面，故得四 点共面 (2)证明 与 共线，然后根据线面平
10、行的判定定理解题即 可；,【规范解答】(1)方法一：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的 边的中点， E,F,G,H四点共面,方法二：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点， FGEH且FG=EH， 四边形EFGH为平行四边形 故E,F,G,H四点共面,(2)由题意知 BDEH,又BD平面EFGH,EH平面EFGH BD平面EFGH,【反思感悟】1.利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路 2.向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合,【变式训练】如图所示，已知ABC
11、D是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心. (1)试用向量法证明E、F、G、H 四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD 的位置关系，并用向量法证明你 的判断.,【解析】(1)分别连接PE、PF、PG、PH并延长交对边于M、N、 Q、R点. 因为E、F、G、H分别是 所在三角形的重心. 所以M、N、Q、R为所在 边的中点， 连接MN、NQ、QR、RM得到的四边 形为平行四边形，且有：,Q,M,N,R,连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平行四边形，所以 又 所以 即 ，由共面向量定理知E、F、G
12、、H四点共面.,(2)由(1)得 ，所以 又因为EG平面ABCD，所以EG平面ABCD. 因为 所以MNEF， 又因为EF平面ABCD，所以EF平面ABCD. 由于EG与EF交于E点， 所以平面EFGH平面ABCD.,空间向量的数量积及其应用 【方法点睛】 1.空间向量数量积的计算方法 （1）定义法：设向量a,b的夹角为，则ab=ab cos； （2）坐标法：设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则 ab=x1x2+y1y2+z1z2 解题时可根据条件灵活选择方法,2.数量积的应用 （1）求夹角设向量a,b所成的角为，则 进而可求两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）运用公
13、式a2=aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题利用abab=0（a0,b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题,【提醒】用ab=abcos求向量的数量积时，关键是确定向量的长度及夹角,【例3】(1)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b 互相垂直，则k=_ (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90， 把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.,【解题指南】(1)利用两向量数量积等于零，列出方程求解即 可； (2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系 和数量关系
14、，然后用 表示 ，根据 求解 【规范解答】(1)由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b =(3,2，-2)所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22 =5k-7=0，解得 答案:,(2)AB与CD成60角， =60或120， 又AB=AC=CD=1，ACCD，ACAB， | |=2或 BD的长为2或 答案：2或,【互动探究】本例(2)中若折起后BD的长为2，求此时AD与BC所成的角的余弦值. 【解析】由已知 与 的夹角为135， 在BDC中，由余弦定理得,AD与BC所成角的余弦值为,【反思感悟】1向量数量积为解决立体几何中的夹角、长度、垂直等问题提供了一种工具，使几何问题
15、转化为数的计算问题 2.解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题，同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系,【变式备选】如图所示，已知空间四边 形ABCD的每条边和对角线长都等于1， 点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点， 计算： (1) (2)EG的长； (3)异面直线EG与AC所成角的大小,【解析】设 则a=b=c=1， a,b=b,c=c,a=60，, 即EG的长为,(3)由(2)知， 故异面直线EG与AC所成的角为45,【满分指导】空间向量解答题的规范解答 【典例】(12分)(2012嘉兴模拟)已知空间中三点A(-2，0， 2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4)
16、,设 (1)若c=3,且c ,求向量c的坐标； (2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，求m,n应满足的关系式.,【解题指南】(1)求 的坐标，由 得c的坐标，根 据c=3求得,可得所求.(2)根据条件得到m(a+b)+n(a-b) 和2a-b的坐标，根据垂直的充要条件可求得m,n满足的条件.,【规范解答】(1)由条件得 2分 4分 =1或=-1. c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). 6分,(2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),8分 2a-b=(3,2,-2). m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).10分 m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直， m(a+b)+n(a-b)(2a-b)
