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1、第八节 二项分布及其应用,三年11考 高考指数: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念； 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布； 3.能解决一些简单的实际问题.,1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考的重点； 2.利用数形结合、合理分类、准确判断概型来解决二项分布问题是高考的热点； 3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查.,1.条件概率及其性质,注意:条件概率不一定等于非条件概率.若A,B_, 则P(B|A)=P(B).,相互独立,【即时应用】 (1)设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为 在事 件A发生的条件下，事件B发
2、生的概率为 则事件A发生的概率 为_. (2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8， 在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概 率为_. (3)掷两枚均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一枚 是6点的概率为_.,【解析】(1)由题意知，P(AB) P(B|A) P(A)P(AB)P(B|A) (2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又 成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)0.8， P(A)0.9.根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A) 0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.,(3)设事件A为至少有
3、一枚是6点，事件B为两枚骰子的点数不同.则n(B)=65=30,n(AB)=10，则P(A|B)= 答案：(1) (2)0.72 (3),2.事件的相互独立性 (1) 设A、B为两个事件，若P(AB)=_，则称事 件A与事件B相互独立. (2) 若事件A与B相互独立，那么A与_，_与B， 与_ 也相互独立.,定义,性质,P(A)P(B),【即时应用】 (1)思考：“相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥. (2)甲射击命中目标的概率为 乙射击命中目标的概率为 当两人同
4、时射击同一目标时，该目标被击中的概率为_. 【解析】P 答案：,(3)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的 次品率分别为 且各道工序互不影响，则加工出来的 零件的次品率为_. 【解析】依题意得，加工出来的零件的正品率是 因此加工出来的零件的次品率是 答案：,3.独立重复试验与二项分布,在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.,在n次独立重复试验中，设事件A发生 的次数为X，在每次试验中事件A发生 的概率为p，此时称随机变量X服从二 项分布，记作_，并称p为 _概率.,用Ai(i=1,2,n)表 示第i次试验结果，则 P(A1A2A3An)=_ _.,在n次独立重复试验中，
5、事件A恰好发 生k次的概率为P(X=k)=_. (k=0,1,2,n),相同,XB（n,p）,成功,P（A1),P(A2)P(A3)P(An),Cnkpk(1-p)n-k,【即时应用】 (1)思考：二项分布的计算公式与二项式定理的公式有何联系？ 提示：如果把p看成a，1p看成b，则 就是二项式定理中的通项.,(2)已知随机变量X服从二项分布XB(6， )，则P(X2)等于 _. 【解析】 答案：,(3)一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 那么播下3粒种 子恰有2粒发芽的概率是_. 【解析】由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式得：P(k 2) 答案：,条件概率 【方法点睛】 条件概率的求法
6、 (1)定义法:先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)= 求P(B|A). (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基 本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得 P(B|A)=,【例1】(1)10件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次抽1 件.已知第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的概率为 _. (2)市场上供应的灯泡中,甲厂占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合 格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则市场上灯泡的合格率是 _.,【解题指南】(1)根据条件概率的定义计算或将问题等价于“从 9件产品(有2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”，
7、然 后计算；(2)市场上的合格产品分为甲厂中的合格产品和乙厂中 的合格产品两种情况,故可由互斥事件的概率公式求解.,【规范解答】(1)方法一：从10件产品中不放回抽取2次，记 “第一次抽到正品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件 B.“从10件产品中不放回抽取2次”共包含 90个基本事件. 事件A包含8972个基本事件.所以P(A) 事件AB，即“从10件产品中依次抽2件，第一次抽到的是正品， 第二次抽到的是次品”包含8216个基本事件. P(AB),已知第一次抽到的是正品，第二次抽到次品的概率 P(B|A) 方法二：因为已知第一次抽到的是正品，所以相当于“从9件产 品(有2件次品)，任取一件
8、，求这件是次品的概率”.由古典概 型知其概率为 答案：,(2)记A=甲厂产品,B=乙厂产品,C=合格产品,则C=AC+BC, 所以P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B) P(C|B)=70%95%+30%80%=0.905=90.5%. 答案：90.5%,【互动探究】在本例(2)中条件改为“甲厂产品的合格率是 95%，其中60%为一级品”，求在甲厂产品中任选一件为一级品 的概率. 【解析】设A表示“任选一个为合格品”；B表示“任选一个为 一级品”，则事件A包含事件B，故AB=B，因为 P(A)=0.95,P(B|A)=0.6,所以P(B)=P(AB)=P(A) P(B
9、|A)=0.950.6=0.57.,【反思感悟】1.此类问题解题时应注意着重分析事件间的关 系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再运用相应的公式求解. 2.在使用条件概率公式P(B|A)= 求概率时，需要求 P(AB)，在求P(AB)时，应注意AB的具体含义，若 ， 则P(AB)P(B).,【变式备选】某个班级有学生40人，其中共青团员15人，全班 分成四个小组，第1小组有学生10人，其中共青团员4人.现在要 在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一 组的概率. 【解析】设在班内任选一个学生，该学生是共青团员为事件A， 在班内任选一个学生，该学生在第一组为事件B，则所求概率为 P(
10、B|A).n(A)=15，n(AB)=4，P(B|A)=,相互独立事件的概率 【方法点睛】 1.判断事件是否相互独立的方法 (1)利用定义: 事件A、B相互独立 (AB)=P(A)P(B). (2)利用性质:A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 也都相互独立. (3)具体背景下: 有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的. 当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.,2.常见词语的理解 在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一 个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发 生”等词语的意义.已知两个事件A、B则,(1)A、B中至少有一个发生的事件为AB；
11、(2)A、B都发生的事件为AB； (3)A、B都不发生的事件为 (4)A、B恰有一个发生的事件为 (5)A、B中至多有一个发生的事件为,【提醒】在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有 一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的 概率求解.,【例2】(2012揭阳模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：乙
12、恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？,【解题指南】由甲、乙两人射击是否击中目标相互独立，应采用 相互独立事件的概率来求解. 【规范解答】(1)设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件 A，则其对立事件 为“4次均击中目标”，则,(2)设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B， 则P(B)= (3)设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于乙恰好 射击5次后被中止射击，故必然是最后两次未击中目标，第三次 击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标. 故P(C)=,【反思感悟】解决事件的概率问题的一般步骤： (1)记“事件”或设“事件”. (2)确定事件的性质.古典概型、
13、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件中的某一种. (3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式. (4)运用公式进行计算. (5)简明写出答案.,【变式训练】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密 码的概率分别为 且他们是否破译出密码互不影响. (1)求恰有二人破译出密码的概率； (2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理 由.,【解析】(1)记三人各自破译出密码分别为事件A，B，C，依题意知A，B，C相互独立，记事件D：恰有二人破译出密码， 则P(D) (2)记事件E：密码被破译， ：密码
14、未被破译， 则 所以 所以P(E)P( ). 故密码被破译的概率大.,【变式备选】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛： 第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者 与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一 直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛 者胜负的概率均为 且各局胜负相互独立.求： (1)打满3局比赛还未停止的概率； (2)比赛停止时已打局数的分布列.,【解析】令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜. (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为 P(A1C2B3)+P(B1C2
15、A3)= (2)的所有可能值为2，3，4，5，6，且 P(=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= P(=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=,P(=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)= P(=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)= P(=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)= 故分布列为,独立重复试验与二项分布 【方法点睛】 1.独立重复试验的特点 (1)每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生. (2)任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.,2.二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相
16、同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生. (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.,【例3】(2012梅州模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击 中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 . 求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.,【解题指南】(1)(2)直接利用二项分布求解；(3)事件“乙恰好 比甲多击中目标2次”包括：“乙恰好击中目标2次且甲恰好击 中目标0次”；“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”两 种情况.,【规范解答】(1)设X为甲击中目标的次数，则：XB(3， )， 故甲恰好击中目标2次的概率为P(X=2)= (2)设Y为乙击中目标的次数，则：YB(3, )
