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1、1 第三章：直线与方程的知识点第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 1.1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当 直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0. 则直线l的倾斜角的范围是.0 2. 2. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点tank ，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k 1122 ( ,), (,)P x yP xy 21 21 yy k xx 12 xx 12 yy 不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率 k=0. 12 xx 12 y
2、y 注意：注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0； 当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的0900k 901800k 增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 1.1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有： 1 l 2 l 1 k 2 k （1）；（2）. 12 /ll 12 kk 12 ll 12 1kk 2. 特例：2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；. 直线的点斜式方程
3、直线的点斜式方程 1.1. 点斜式：直线 过点,且斜率为k，其方程为.l 000 (,)P xy 00 ()yyk xx 2.2. 斜截式：直线 的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.lykxb 3.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线 过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，l 000 (,)P xy 斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 0 0 xx 0 xx 4.4. 注意：注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是 0 0 yy k xx 00 ()yyk xx 000 (,)P xy 整条直线. 直线的两点式方程直线的两点式方程
4、1.1. 两点式：直线 经过两点，其方程为， l 111222 ( ,),(,)P x yP xy 11 2121 yyxx yyxx 2.2. 截距式：直线 在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.l1 xy ab 3.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线. 直线的一般式方程直线的一般式方程 1.1. 一般式：，注意A、B不同时为 0. 直线一般式方程化为斜截式0AxByC0 (0)AxByCB 方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线. AC yx BB A B C B 2. 2. 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的:0l AxByC 1
5、 0AxByC0AxByC 直线，可设所求方程为. 1 0BxAyC 3. 3. 已知直线的方程分别是：（不同时为 0） ，（ 12 ,l l 1111 :0lA xB yC 11 ,A B 2222 :0lA xB yC 22 ,A B 不同时为 0） ，则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）； （2）； 121212 0llA AB B 1212211221 /0,0llABA BACA B （3）与重合； （4）与相交. 1 l 2 l 12211221 0,0ABA BACA B 1 l 2 l 1221 0ABA B 如果时，则；与重合；与相交. 222 0A B C 111 1
6、2 222 / ABC ll ABC 1 l 2 l 111 222 ABC ABC 1 l 2 l 11 22 AB AB 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时 两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2 2. 2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是 111222 ()()0A xB yCA xB yC 与的交点.； 111 0A
7、xB yC 222 0A xB yC 总结直线系方程 1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm). 2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注：该直线系不含 l2. 两点间的距离两点间的距离 1.1. 平面内两点，则两点间的距离为：. 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy
8、22 121212 |()()PPxxyy 特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时， 12 ,P P 1212 | |PPxx 12 ,P P ；线段中点坐标公式. 1212 | |PPyy 12 PP 1212 (,) 22 xxyy 2.2.定 比 分 点 坐 标 分 式 ， 若 点 P(x,y)分 有 向 线 段 1212 PPPPPP 所成的比为 即 ,其 中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 1 , 1 2121 yy y xx x 点到直线的距离及两平行线距离点到直线的距离及两平行线距离 1.1. 点到直线的距离公式为. 00 (,)P xy:0lAxB
9、yC 00 22 |AxByC d AB 2. 2. 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 可 以 推 导 出 两 条 平 行 直 线， 11 :0lAxByC 之间的距离公式。 22 :0lAxByC 12 22 |CC d AB 推导过程 ： 在直线上任取一点， 则， 即. 这时点 2 l 00 (,)P xy 002 0AxByC 002 AxByC 00 (,)P xy 到直线的距离为 11 :0lAxByC 00112 2222 |AxByCCC d ABAB 关于点对称和关于直线对称关于点对称和关于直线对称 1.1.关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距
10、离相等. 2.2.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 3.3.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两对称点的直线方 程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 3 一.选择题 1.过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. 过点( 1,3)P 且垂直于直线032yx 的直线方程为（ ） A. 01
11、2 yx B. 052 yx C. 052yx D. 072yx 3. 已知过点( 2,)Am和( ,4)B m的直线与直线012 yx平行，则m的值为（） A. 0 B. 8 C. 2 D. 10 4.直线过点（-1，2） ，且与直线 2x-3y+4=0 垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5.设直线 ax+by+c=0 斜率存在，倾斜角为，且,则 a,b 满足 （ ）sincos0 A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 如果直线 ax+2y+2=0 与直
12、线 3x-y-2=0 平行，则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 D、 2 3 3 2 7.点 P（-1，2）到直线 8x-6y+15=0 的距离为（ ） A 2 B C 1 D 2 1 2 7 8. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该点的坐标是 A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 9. 已知直线 12 :(3)(4)10,:2(3)230,lkxk ylkxy 与平行，则k 值是（ ） A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 10、若图中的直线 L1、L2、L3的斜率分别为 K1、K2、K3则（ ） A、K1K2K3 B
13、、K2K1K3 C、K3K2K1 D、K1K3K2 11.直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直，则 m 值是( ) A.或 2 B.或-2 C . D.2 或-2 2 1 2 1 2 1 12、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限，则( ) A. ab0，bc0 B. ab0，bc0 L1 L2 x o L3 4 C. ab0，bc0 D. ab0，bc0
14、 14. 如果直线 l经过两直线 2x - 3y + 1 = 0 和 3x - y - 2 = 0 的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线 l 的距离是( ) A. 2 B. 1 C. D.222 15. 原点关于x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为( ) A. B. 5 2 ， 5 4 - 5 4 ， 5 2 - C. D. 5 2 ， 5 4 5 4 ， 5 2 - 二、填空题 1. 点(1, 1)P到直线10 xy 的距离是_. 2.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则 a 的值为_. 3.经过两直线 11x+3y7=0 和 12x+y19=
15、0 的交点，且与 A（3，2） ，B（1，6）等距离的直线的方程 是 。 4.若直线m被两平行线 12 :10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以 是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三.解答题 1.已知两条直线. 为何值时, 12 :12,:2416lxm ym lmxy m 12: ll与 （1）相交 （2）平行 （3）垂直 2. 求经过直线0323:, 0532: 21 yxlyxl的交点且平行于直线032 yx的直线方程. 5 3.求平行于直线且与它的距离为的直线方程。20,xy2 2 4.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5） 、B（-2，-1） 、C（4，3） ，M 是 BC 边上的中点。 （1）求 AB 边 所在的直线方程；（2）求中线 AM 的长（3）求 AB 边的高所在直线方程。 5.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形，并且两截距之差为 3 的直线的方程。
