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1、第七节 正弦定理和余弦定理,三年16考 高考指数: 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.,1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.,1.正弦定理,已知两角和任一边，求其他两边和另一角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.,【即时应用】 (1)思考：在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？ 提示:充要条件. 因为,(2)在ABC中，B30，C120，则abc_. 【解析】A1803012030
2、， 由正弦定理得：abcsinAsinBsinC11 答案：11,2.余弦定理,已知三边,求各角. 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.,【即时应用】 (1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为. (2)在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为_.,【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为 2a，故顶角的余弦值为 (2)由已知得b2c2a2bc， cosA 又0A，A 答案：,3.三角形中常用的面积公式 (1)S= (h表示边a上的高); (2)S= =_=_； (3)S= (r为三角形的内切圆半径).,【即时应用】 (1)在ABC中，A60，
3、AB1，AC2，则SABC的值 为_. (2)在ABC中， 则SABC_.,【解析】(1) (2)在ABC中， 答案：,利用正、余弦定理解三角形 【方法点睛】 解三角形中的常用公式和结论 (1)A+B+C=.,(2)0A，B，C， sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC， tan(A+B)=-tanC. (3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然; 三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,【例1】根据下列条件解三角形 (1)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c b4，且BC边上的高h ，则角C=_. (2)在ABC中，已知ABC，且
4、A=2C,b=4,a+c=8，则 a=_,c=_. (3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方 程2x23x20的根，则第三边长是_.,【解题指南】(1)作出高，利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.,【规范解答】(1)由于ABC为锐角三角形，过A作ADBC于D 点，sinC 则C60.,(2)由正弦定理 又A=2C,所以 即 cosC=,由已知a+c=8=2b及余弦定理，得 整理得(2a-3c)(a-c)=0, ac,2a=3c. a+c=8,(3)解方程可得该夹角的余弦值为 由余弦定理得： 第
5、三边长是 答案：(1)60,【互动探究】本例中的(1)条件不变，若求a,则a=_. 【解析】由余弦定理可知c2a2b22abcosC， 则 即a24a50. 所以a5或a1(舍去) 因此a边的长为5. 答案：5,【反思感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意根据已知条件用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. 2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.,absinA,a=bsinA,bsinAab,ab,ab,ab,无解,一解,两解,一解,一解,无解,A,a,b,C,B,C,A,
6、a,b,B1,B2,A,C,a,a,b,C,A,a,b,B,B,C,A,B,A,a,a,b,b,C,【变式备选】在ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求其最大内角和sinC. 【解析】由已知得，acb，所以内角A最大， 由余弦定理得， 而 所以sinC=,利用正、余弦定理判断三角形形状 【方法点睛】 1.三角形形状的判断思路 判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断 (1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； (2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.,2.判定三角形形状的两种常用途径 通过正弦定理
7、和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； 利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. 【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C 的范围对三角函数值的影响.,【例2】(2012韶关模拟)已知ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c,m=(a,cosB),n=(cosA,-b),ab,已知mn.判断三角形的形状,并说明理由. 【解题指南】由mn寻找边角关系,可利用正、余弦定理化边为角或化角为边进行变换即可.,【规范解答】方法一(边化角) mn,mn=0,acosA-
8、bcosB=0. 由正弦定理知, (R为ABC外接圆的半径), a=2RsinA,b=2RsinB. sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B. A,B(0,),2A=2B或2A+2B=, 又ab,AB.A+B= 所以ABC是直角三角形.,方法二(角化边) mn,mn=0. acosA-bcosB,ba,b2-a20, b2+a2-c2=0,c2=a2+b2, ABC是直角三角形.,【反思感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系； (4)通过三角函数值符号的判断以及正、余
9、弦函数有界性的讨论.,【变式训练】在ABC中： (1)已知a-b=ccosBccosA，判断ABC的形状. (2)若b=asinC,c=acosB,判断ABC的形状.,【解析】(1)由已知结合余弦定理可得a-b=c - c 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,a=b或a2+b2=c2,ABC为等腰三角形或直角三角形. (2)由b=asinC可知 由c=acosB可知 c=a 整理得b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角 形，A=90,sinC=sinB，B=C， ABC为等腰直角三角形.,与三角形面积有关的问题 【方法点睛】三角形的面积公式 (1)已知一边和这边上的高: (2)已知两边
10、及其夹角：,(3)已知三边： 其中p= (4)已知两角及两角的共同边： S= (5)已知三边和外接圆半径R，则S=,【例3】(1)已知ABC中，a8，b7，B60，则c=_，SABC=_. (2)(2011山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 求 的值； 若cosB= b=2,求ABC的面积S.,【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C的正弦值,再求出边长c,进而求面积;也可利用余弦定理求出边长c，再求面积. (2)可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦定理推出边的关系,再利用正弦定理求解.应用余弦定理及的结论求
11、得a和c的值，然后利用面积公式求解.,【规范解答】(1)方法一:由正弦定理得 sinA= cosA= sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 或 由 得c1=5,c2=3. 或,方法二:由余弦定理得 b2=c2+a2-2cacosB, 72=c2+82-28ccos60, 整理得:c2-8c+15=0, 解得:c1=3,c2=5, 或 答案：3或5 或,(2)方法一:在ABC中，由 及正弦定理可得 即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB， 则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB， sin(A+
12、B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sinC=2sinA， 即,方法二：在ABC中，由 可得 bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB， 由余弦定理可得 整理可得c=2a，由正弦定理可得,由c=2a及cosB= b=2可得 4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,则a=1，c=2， S= 即S=,【反思感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式. 2.明确所需要求的边、角，(1)若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形
13、，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.,【变式训练】在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程 =0的两个根，且2cos(A+B)=1, 求:(1)角C的度 数;(2)AB的长度;(3)ABC的面积.,【解析】(1)cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)= C=120. (2)由题设： c2=a2+b2-2abcos120 =a2+b2+ab=(a+b)2-ab= 即AB= (3),【变式备选】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c， B= (1)求sinC的值; (2)求ABC的面
14、积.,【解析】(1)因为角A，B，C为ABC的内角， 且 所以 于是,(2)由(1)知 又因为 所以在ABC中，由正弦定理得a= 于是ABC的面积S=,【满分指导】解三角形问题的规范解答 【典例】(12分)(2011辽宁高考)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A= (1)求 (2)若c2=b2+3a2，求B.,【解题指南】(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosB的表达式，再利用第(1)题的结论进行化简即得.,【规范解答】(1)由正弦定理得， 即 3分 故 所以 6分,(2)由余弦定理及 得cos
15、B 由(1)知b2=2a2，故c2=(2+ )a2.10分 可得 又cosB0， 故 所以B=45.12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：,1.(2011 浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=( ) 【解析】选D.由acosA=bsinB可得sinAcosA=sin2B, 所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.,2.(2011安徽高考)已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_. 【解析】设三角形中
16、间边长为x，则另两边的长为x-4， x+4，那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120， 解得x=10，所以 答案：,3.(2011福建高考)如图，ABC中， AB=AC=2，BC= 点D在BC边上， ADC=45，则AD的长度等于_.,【解析】在ABC中，由余弦定理易得 C=30,B=30.在ABD中， 由正弦定理得： 答案：,4.(2011新课标全国卷)在ABC中，B=60，AC= 则AB+2BC的最大值为_.,【解析】令AB=c，BC=a，则由正弦定理得 c=2sinC,a=2sinA,且A+C=120， AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120-C) =
