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1、第一节 随机事件 第二节 事件的概率 第三节 概率的基本性质与运算法则 第四节 条件概率与独立性 第五节 独立重复试验 第六节 全概率公式与贝叶斯公式,第一章 随机事件及概率,back,复习：完备事件组,若事件A1, A2,An两两互斥，且A1+A2+ +An=W则称A1, A2,An构成一个完备事件组。 完备事件组A1,A2,An也称作对样本空间W的一次划分(或分割)。,引例：10个签中有3张奖券，甲先抽、乙后抽，求乙抽中奖券的概率。 解：设A=“甲抽中”、B=“乙抽中”，则,例1 一个袋内装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，求第二次取到白球的概率。 解：设
2、A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球” 因为 且 由概率的加法公式及乘法公式，,定理1.9 (全概率定理) 如果事件A1，A2，An构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任意事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ +P(An)P(B|An) 证 B=WB=(A1+A2+ An)B =A1B+A2B+AnB P(B)=P(A1B+A2B+AnB) =P(A1B)+P(A2B)+P(AnB) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ +P(An)P(B|An),一、全概率公式,定理1.9 (全概率定理) 如果事件A1，A2，An构成一个完
3、备事件组，且都具有正概率 (P(Ai)0，i=1,2,n)，则对任意事件B，有 证 A1，A2，An两两互斥， A1B，A2B，AnB也两两互斥，并且 A1B+ A2B+AnB =B,补例1 ：例1的10个球，若改为3个白球， 2个黑球， 5个红球，取法不变，求第二次取到白球的概率P(B)。 解：设A1，A2，A3分别为第一次取到白球、黑球、红球，B为第二次取到白球。则A1，A2，A3构成一个完备事件组， P(A1)=3/10， P(A2)=2/10， P(A3)=5/10， P(B|A1)=2/9， P(B|A2)=3/9， P(B|A3)=3/9，,例题,例2 ：某厂的一批产品，由甲、乙、
4、丙三名工人生产，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，若已知他们的次品率依次为5%，4%，2%，现在从这批产品中任意抽取一件，求取到次品的概率(即这批产品的次品率)。 解：设A1，A2，A3分别为抽取到甲、乙、丙三名工人生产的产品，B为取到次品。则A1，A2，A3构成一个完备事件组， P(A1)=0.25， P(A2)=0.35，P(A3)=0.40， P(B|A1)=0.05， P(B|A2)=0.04， P(B|A3)=0.02，,例题,返回,补例2 ：市场上某种商品由三个厂家同时供货，其供应量，第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两个厂家相等，而且各厂产品的次品率依次为2%，2%，4
5、%，求市场上该种商品的次品率。 解：设A1，A2，A3分别为第一、二、三厂家的产品，B为取到次品。则A1，A2，A3构成一个完备事件组， P(A1)=0.5， P(A2)=P(A3)=0.25， P(B|A1)=0.02， P(B|A2)=0.02， P(B|A3)=0.04，,例题,补例3 ：10个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出2个，用完后放回去，第二次又随机地取出2个，问第二次取到几个新球的概率最大？ 解：设Ai=“第一次取到i个新球” i = 0,1,2，Bj =“第二次取到j个新球” j = 0,1,2，则A0，A1，A2构成一个完备事件组，,例题,补例3 ：10个乒乓球中有7个
6、新球，第一次随机地取出2个，用完后放回去，第二次随机取出的2个用完后也放回去，第三次又随机地取出2个，问第三次取到几个新球的概率最大？ 解：设Ai=“第一次取到i个新球” i = 0,1,2，Bj =“第二次取到j个新球” j = 0,1,2，Ck=“第三次取到k个新球” k = 0,1,2,例题 (补例3 进一步),全概率公式的一种解释： “结果事件” B “原因” A1，A2，An 已知P(Ai)“原因(先验)概率” P(B|Ai)“导致结果” 全概率 现若已知B已经发生，要计算 P(Ai|B)“事后(后验)概率”,说明,back,二、贝叶斯公式,定理1.10 (Bayes) 如果事件A1
7、，A2，An构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任意事件B，有,例3 ：某厂的一批产品，由甲、乙、丙三名工人生产，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，若已知他们的次品率依次为5%，4%，2%，现在从这批产品中任意抽取一件，经检验得知是次品，问这件次品是哪一名工人生产的可能性最大。 解：在例2中已求得P(B)=0.0345，由贝叶斯公式,例题,在例2的条件下，问题变为：,例4、例5 （略） 补例：甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，他们击中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7，假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率为0.2，若有两人击中时，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被三人击中时一定坠
8、毁。求飞机坠毁的概率，现在如果发现飞机已经被击中坠毁，计算它是由3人同时击中的概率。 解：设Ai=“有i个人击中飞机” i = 0,1,2,3 ，则A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组，B=“飞机被击中坠毁” P(B|A0)=0，P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，P(B|A3)=1， 设C1,C2,C3分别为甲、乙、丙击中飞机，则C1,C2,C3相互独立,例题（参见教材 P35P36）,例题,P(B|A0)=0，P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，P(B|A3)=1， 设C1,C2,C3分别为甲、乙、丙击中飞机，则C1,C2,C3相互独立,back,1、某公路上跑着的汽车分为载重汽车和非载重汽车，二者数量之比为3:2，已知载重汽车发生故障需中途停下来修理的概率为1%，而非载重汽车中途停修的概率为2%，现有一辆车停下来修理，问它是载重汽车的概率是多少？ 2、已知世界上有万分之四的人患某种疾病，医院作某种化验检查，患者呈阳性的概率为95%，未患该病的呈阴性的概率为90%，现有一人作该项化验检查，结果为阳性，问他确实患病的概率是多少。 3、有12只乒乓球，其中9只新球，第一次比赛任取3只，用完放回，求第二次比赛任取3只全是新球的概率。,练习,P42P43 41、42、43 44、47,作业,
