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1、1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点知道指数函数yax与对数函数ylog a x互为反函数(a0，a1)，体会 对数函数是一类重要的函数模型,第5课时 对数函数,【命题预测】 1对数式运算通常与指数式、对数函数一起综合考查，很少单独命题 2对数是一种运算工具，对数函数的性质及运算性质的考查常与函数、数列等运算交汇出题 3明确指数函数与对数函数之间的关系，尤其同底数的指数与对数函数图象间关于yx轴对称的性质，是近年考查的重点 4与对数函数相关的复合函数性质的考查也是近年考查的一大重点 5
2、高考中常以小题出现的是比较大小及单纯的对数性质的考查，解答题出现的是对数与其他知识的交汇问题,【应试对策】 1要熟练掌握对数的运算性质、换底公式以及常用恒等式，能在题目中灵活使用，进行运算 2比较两个对数的大小，可以使用换底公式化为同底数的对数进行比较，还可以借助于一些中间数比较，比如0或1. 3比较两个对数的大小常借助于函数的单调性，当底数不同时可以借助于对数函数的图象进行比较,4.理解对数函数图象的特征: y 轴是对数函数的渐近线,当0a1时，x0， y；当a1时，x0，y.当a1时，a值越大，图象越靠近x轴， 递增速度越慢；当0a1时，a值越小，图象越靠近x轴，递减速度越慢 对于方程lo
3、g f(x) g(x)c转化为 求解 5在讨论对数函数的性质时，应注意定义域及对底数a的分类讨论(含参 数的对数问题，要注意分类讨论的思想),【知识拓展】 1反函数 (1)反函数的概念：函数yf(x)的定义域为A，值域为C，由yf(x)得 x(y)函数x(y)是yf(x)的反函数，记作：xf1(y) (2)求反函数的步骤：由yf(x)解出xf1(y)；将xf1(y)中的x与y 互换位置，得yf1(x)；由yf(x)的值域，确定yf1(x)的定义域,注意：反函数的定义域：由原函数的值域来确定，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域
4、开平方时“”号的取舍：在解出x的过程中，如果需要开平方，则应注意“”号的取舍，此时应根据原函数的定义域，来确定符号 求分段函数的反函数，应先分别求出每一段函数的反函数，再将它综合成一个函数即可 (3)互为反函数的图象关于直线yx对称 (4)指数函数与对数函数互为反函数,2对数函数的性质在比较对数值大小中的应用 (1)比较同底数的两个对数值的大小，例如：比较logaf(x)与logag(x)的大小， 其中a0且a1. 若a1，f(x)0，g(x)0，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0. 若00，g(x)0；则logaf(x)logag(x)0f(x)g(x),(2)比较两个同真
5、数的对数值的大小，例如：比较logaf(x)与logbf(x)的大小 ，其 中ab0，且a1，b1. 若ab1，如图1. 当f(x)1时，logbf(x)logaf(x)；当0logbf(x) 图1图2,若1ab0，如图2. 当f(x)1时，logaf(x)logbf(x)；当1f(x)0时，logaf(x)logbf(x) 若a1b0， 当f(x)1时，则logaf(x)0logbf(x)；当0f(x)1时，则logaf(x)0logbf(x),3求与对数函数相关的复合函数的单调区间 求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤： (1)确定定义域 (2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，
6、ug(x) (3)分别确定这两个函数的单调区间 (4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减， 则yfg(x)为减函数，即“同增异减”,4对数方程的类型及解法 (1)对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程 (2)解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有： 形如logaf(x)logag(x)(a0且a1)的方程，化成f(x)g(x)0求解 形如F(logax)0的方程，用换元法解 形如logf(x) g(x)c的方程，化成指数式f(x)cg(x)求解 (3)在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容 易产生增减根，因此解对数方程要注意
7、验根 (4)含参数的指数、对数方程在求解时，需注意将原方程等价转化为某 个混合组，并在等价转化的原则下简化求解，对参数进行分类讨论,1对数 (1)对数的概念 如果a(a0，a1)的b次幂等于N，就是abN，那么，数b叫做 ， 记作logaNb，其中a叫做对数的 ，N叫做对数的 (2)常用对数 通常将log10N叫做常用对数，记作 . 自然对数：通常将以无理数e2.718 28为底的对数叫做自然对数，记作 .,以a为底N的对数,底数,真数,lgN,lnN,(3)对数的性质 零和负数没有对数；loga1 (a0，且a1)； logaa (a0，且a1)；alogaN (a0，且a1，N0),0,1
8、,N,2对数的运算性质 如果a0，a1，M0，N0，那么 (1)loga(MN) ；(2)loga ； (3)logaMn (nR)；(4)logaM (c0，且c1),logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,3对数函数 (1)对数函数的概念：函数ylogax(a0，a1)叫做 ，它的 定义域是 (2)对数函数ylogax(a0，且a1)的图象和性质如下表所示：,对数函数,(0，),增,减,(1,0),(0，),R,1lg 83lg 5的值为_ 解析：lg 83lg 53lg 23lg 53lg103. 答案：3 2已知log7log3(log2x)0，那么 等于_ 解析：由
9、题意知：log3(log2x)1，log2x3，x8， . 答案：,3函数f(x)lg 的定义域为_ 解析：1x20，即x20，a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)， 则a_，b_. 解析：由题意知 解得ab2. 答案：22,5(苏、锡、常、镇四市教学情况调查)方程xlg(x2)1有_个不同的实数根 解析：由题意知x0，xlg(x2)1，lg(x2) ，令y1lg(x2)， y2 ，利用数形结合，画出相应的函数图象，两个函数的交点个数即 为方程根的个数，由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点，故 方程有2个不等实数根 答案：2,对数的化简与求值的基本思路： (1)利用换底公式及 ，尽量地
10、转化为同底的和、差、积、商 运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对 数真数的积、商、幂再运算；(3)约分、合并同类项，尽量求出具体值,【例1】 计算： (1)(lg 2)2lg 2lg 50lg 25；(2)(log32log92)(log43log83) 思路点拨：对数运算问题要注意化同底和lg 2lg 51等结论的应用 解：原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5 (11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2. (2)原式,变式1：(改编题)求值：(1) ；(2)(lg 2)3(lg 5)33lg2lg 5
11、； (3) . 解：(1)原式 . (2)原式(lg 2lg 5)(lg22lg 2lg 5lg25)3lg 2lg 5 lg222lg 2lg 5lg25(lg 2lg 5)21.,(3)解法一：原式,解法二：原式,掌握指数式与对数式的互化公式是解决指数与对数互化问题的一个有效途径，其互化公式为logaNbabN(a0，a1，N0)，在解题时要注意对公式灵活应用,【例2】 已知3a5bc，且 2，求c的值 思路点拨：借助指数式与对数式的互化可以解决问题 解：对 c两边同取以c为底的对数，得 1， logc3 .同理可得 logc5.由 2，得logc3logc52， logc152，c215
12、.又c0，c .,变式2：(11.2)a1 000，(0.011 2)b1 000，则 _. 解析：a ，b ， (lg 11.2lg 0.011 2) 1. 答案：1,1比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成 (1)a1，f(x)0，g(x)0，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0； (2)00，g(x)0，则logaf(x)logag(x)0b1，如图1.当f(x)1时，logbf(x)logaf(x)；当0logbf(x),(2)若1ab0，如图2.当f(x)1时，logbf(x)logaf(x)；当1f(x)0时， logaf(x)logbf(x) (
13、3)若a1b0.当f(x)1时，则logaf(x)0logbf(x)；当0f(x)1时， 则logaf(x)0logbf(x),3比较大小常用的方法 (1)作差(商)法；(2)利用函数的单调性；(3)特殊值法(特别是1和0为中间值),【例3】 对于0 .其中成立的是_,思路点拨：从题设可知，该题主要考查ylogax与yax两个函数的单调性， 故可先考虑函数的单调性，再比较大小 解析：由0a1aloga ， a1a， ，则正确 答案：,变式3：已知1x10，那么lg2x，lgx2，lg(lgx)的大小顺序是_ 解析：1x10，0lgx1，lg(lgx)0,0lg2x2lgx， lg(lgx)lg
14、2xlgx2. 答案：lg(lgx)lg2xlgx2,1对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数 的定义域是热点问题其单调性取决于底数与“1”的大小关系 2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方 法是“同底法”即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决,3与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)确定定义域； (2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本 初等函数yf(u)，ug(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间,【例4】 是否存在实数a，使f(x)loga(ax2x)(a0，且a1)在区间2,4上 是
15、增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由 思路点拨：讨论a与1的大小关系讨论函数yax2x的图象的 对称轴与区间2,4的关系，并保证在区间2,4上，ax2x0. 解：f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是增函数， 或 ，即 或 a1，所以实数a的取值范围为(1，),变式4：(创新题)若函数f(x)loga(x3ax)(a0，a1)，在区间 内单 调递增，则a的取值范围是_ 解析：设g(x)x3ax，则g(x)3x2a， 当a1时，不等式组 ，对于x 恒成立，a无解； 当0a1时，不等式组 ，对于x 恒成立解得 a1. 答案：,【规律方法总结】,1指数式abN与对数式logaNb的关系以及这两种形式的互化是对数运算 法则的关键 2在运用性质logaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为 logaMnnloga|M|(nN*且n为偶数) 3注意对数恒等式、对数换底公式及等式 ， logab 在
