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1、第一章计数原理专题1 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？（3）若需一名老师，一名同学参加，有多少种不同的选法？2某校高中部高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某社区进行社会实践活动（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？3某学校高二年级有12名
2、语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会（1）若选派1名教师参会，有多少种派法？（2）若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法？（3）若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法？4如图用种不同颜色，给图中A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色（1）若，共有多少种不同的涂法？（2）若，共有多少种不同的涂法？（3）若且，共有多少种不同的涂法？5已知且互不相同，则对于方程，所表示的曲线中不同的抛物线共有多少条？6给下图中四面体的每条棱染色，有6种颜色可供选择，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有
3、多少种？7现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？1（1）16；（2）120；（3）39【解析】（1）需一人参加，分三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，有8种不同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法共有种不同的选法（2）需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选男生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法共有种不同的
4、选法（3）第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选学生，有种不同的选法，共有种不同的选法2（1）21；（2）336；（3）146【解析】（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法由分类加法计数原理，共有种不同的选法（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法由分步乘法计数原理，共有种不同的选法（3）分三类，每类又分两步第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选
5、1个班，有种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有种不同方法，故共有种不同的选法3（1）40；（2）2340；（3）531【解析】（1）分三类：第一类选语文教师，有12种不同选法；第二类选数学教师，有13种不同选法；第三类选英语教师，有15种不同选法，故共有种不同的派法（2）分三步：第一步选语文教师，有12种不同选法；第二步选数学教师，有13种不同选法；第三步选英语教师，有15种不同选法，故共有种不同的派法（3）分三类：第一类选一位语文教师和一位数学教师共有种不同选法；第二类选一位语文教师和一位英语教师共有种不同选法；第三类选一位英语教师和一位数学教师共有种不同选法，故共有种不同的派法
6、4（1）6；（2）180；（3）【思路分析】解决本题要用分步乘法计数原理，按A、B、C、D四个区域的顺序分四步进行，计算出每个区域的涂法种数，然后相乘即可【解析】按题图中A、B、C、D四个区域的顺序依次分四步完成，每步涂一个区域则：（1）当时，第一步，涂A有3种涂法；第二步，涂B有2种涂法；第三步，涂C有1种涂法；第四步，涂D有1种涂法，所以根据分步乘法计数原理，不同的涂法共有种（2）当时，第一步，涂A有5种涂法；第二步，涂B有4种涂法；第三步，涂C有3种涂法；第四步，涂D有3种涂法，所以根据分步乘法计数原理，不同的涂法共有种（3）当且时，第一步，涂A有种涂法；第二步，涂B有种涂法；第三步，涂
7、C有种涂法；第四步，涂D有种涂法，所以根据分步乘法计数原理，不同的涂法共有种532【解析】将方程变形可得，若表示抛物线，则且，所以，分2，1，2，3四种情况：当时，当时，0，；当时，0，；当时，0，；当时，当时，0，；当时，0，；当时，0，；当时，；当时，由于或时，与中有4条重复的抛物线，所以方程所表示的曲线中不同的抛物线共有条【名师点睛】此题难度很大，若采用排列组合知识进行计算，很容易忽视重复的4条抛物线列举法是解决排列、组合、概率等问题非常有效的办法，要能熟练运用6【思路分析】由题意，可按分步乘法计数原理求解本题，第一步涂DA有6种方法，第二步涂DB有5种方法，第三步涂DC有4种涂法，第四
8、步涂AB时分两类，若AB与CD同色与不同色，即可得出不同的染色方法种数【解析】如图，由题意，第一步涂DA有6种方法，第二步涂DB有5种方法，第三步涂DC有4种涂法，第四步涂AB，若AB与DC同色，则AB有1种涂法，第五步，BC与AD同色，则BC有1种涂法，最后一步涂AC有4种涂法，BC与AD不同色，则BC有3种涂法，最后一步涂AC有3种涂法；若AB与CD不同色，则AB有3种涂法，第五步，BC与AD同色，则BC有1种涂法，最后一步涂AC有3种涂法，BC与AD不同色，则BC有2种涂法，最后一步涂AC有2种涂法综上，总的涂法种数是7（1）34；（2）5040；（3）431【解析】（1）分四类：第一类
9、，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法所以共有种不同的选法（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有种不同的选法（3）分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有种不同的选法，所以共有种不同的选法专题2 1.2排列与组合1安排名
10、志愿者去做项不同的工作，每项工作需要人，由于工作需要，两人必须做同一项工作，两人不能做同一项工作，那么不同的安棑方案共有多少种？2解下列方程：（1）；（2）3用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的五位数中，求至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数4号码为1，2，3，4，5，6的六个大小相同的球，放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球（1）若1号球只能放在1号盒子中，6号球不能放在6号的盒子中，则不同的放法有多少种？（2）若5，6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中且不与4号球相邻，
11、则不同的放法有多少种？5已知0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同的直线共有多少条？6（1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同的坐法共有多少种？（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法共有多少种？（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？7（1）解方程：；（2）解不等式：8有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有
12、多少种分法？（1）甲得4本、乙得3本、丙得2本；（2）一人得4本、一人得3本、一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本97名师生站成一排照相留念，其中老师1人、男生4人、女生2人，在下列情况下各有多少种不同的站法（1）2名女生必须相邻；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不相等，男生按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间、女生不站两端10某班数学培优学习小组有男生3人、女生2人，这5人站成一排留影（1）求其中的甲、乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲、乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？1【思路分析】项工作相当于个不同的位置，先从项
13、工作中选择一项由，两人完成，两人从余下的项工作中各选择一项，最后余下的二人也分别做这项工作，根据分步乘法计数原理即可得共有种不同的安棑方案【解析】先从项工作中选择一项由，两人完成，有种；，两人从余下的两项工作中各选择一项，有种；最后余下的两人也分别做上述两项工作，有种根据分步乘法计数原理，可得共有种不同的安棑方案2（1）或；（2）【思路分析】（1）由组合数的性质可得，若，则或；（2）利用排列数公式化简方程即可求解【解析】（1）由组合数的性质可得或，解得或故的解为或（2）由题可得且，即且，由可得，化简可得，即，解得或（舍去），故的解为3（1）30；（2）60【思路分析】（1）先分类，将所有的三位
14、偶数分为个位是0和个位是2或4的两种情况，当个位是0时，首位不受限制，当个位是2或4时，首位不能是0，由分类加法计数原理可得结果；（2）采用间接法，没有偶数夹在两个奇数之间，那就指1和3相邻，采用捆绑法，看成一个复合元素，这样首位不能是0，其他位置没有限制，最后用总的5位数的排法总数去减可得结果【解析】（1）将所有的三位偶数分为两类：第1类，若个位数为0，则共有个；第2类，若个位数为2或4，则共有个由分类加法计数原理，可得共有个符合题意的三位偶数（2）由题易得两个奇数必不相邻，则采用间接法可得至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数为4（1）96；（2）144【思路分析】（1）对于含有特殊位置的排列问题，即可从特殊位置入手，先安排1和6号位置，再安排其它位置即可；（2）由题中有特殊元素，可先运用“捆绑法”，即将5，6号球看做一个整体，由于5，6号球与4号球不相邻，用“插空法”解决不相邻问题，在1，2，3号球排列后形成的4个空中插入上述两个特殊元素，由分步乘法计数原理可得结果【解析】（1）1号球放在1号盒子中，6号球不能放在6号盒子中，则有种不同的放法（2）若5，6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中且不与4号球相邻，则不同的放法有种5（1）；（2）【解析】（1）
