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1、数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 第二节 等差数列及其前n项和 第三节 等比数列及其前n项和 第四节 数列求和 第五节 数列的综合应用,目 录,数 列,知识能否忆起 1数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： 数列：按照 排列的一列数 数列的项：数列中的 ,一定顺序,每一个数,(2)数列的分类：,有限,无限,(3)数列的通项公式： 如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 2数列的递推公式 如果已知数列an的首项(或前几项)，且 与它的 (n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式,任一项an,序号n
2、,前一项an1,答案：B,小题能否全取,2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为 () A15 B16 C49 D64 解析：a8S8S7644915.,答案：A,答案：A,A递增数列 B递减数列 C常数列 D摆动数列,解析：a4a3233(235)54. 答案：54,1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别 2数列的函数特征
3、 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)an(nN*),答案C,1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整 2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由an与Sn的关系求通项an,(1)Sn2n23n；,(2)Sn3n1.,已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a1S
4、1求出a1； (2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式； (3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写,答案：D,例3已知数列an的通项公式为ann221n20. (1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)n为何值时，该数列的前n项和最小？,数列的性质,1数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数anf(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值 2前n项和最值的求法 (1)先求出数列的前n项和Sn
5、，根据Sn的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若am0，且am10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.,答案：C,递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法,1累加法 典例1(2011四川高考)数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，则a8() A0B3 C8 D11 解析由已知得bn2n8，an1an2n8，所以a2a16，a3a24，a8a76，由累加法得a8a16(4)(2)02460，所以a8a13. 答
6、案B,(1)求a2，a3； (2)求an的通项公式,2累乘法,3构造新数列 典例3已知数列an满足a11，an13an2；则an_.,答案23n11,教师备选题（给有能力的学生加餐）,答案：C,答案： B,答案： C,知识能否忆起,第2项,差,an1and,一、等差数列的有关概念,等差中项,a1(n1)d,二、等差数列的有关公式,三、等差数列的性质 1若m，n，p，qN*，且mnpq，an为等差数列，则amanapaq. 2在等差数列an中，ak，a2k，a3k，a4k，仍为等差数列，公差为kd. 3若an为等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等差数列，公差为n2d.,4等差数列的
7、增减性：d0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最大值,小题能否全取 1(2013福建高考)等差数列an中，a1a510，a47，则 数列an的公差为 (),答案：B,答案：D,答案：B,A58 B88 C143 D176,答案：2n1,1.与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想,(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值,2设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，
8、ad，a2d，； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元,例1 在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*) (1)求a2，a3的值；,等差数列的判断与证明,自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且nN*)，a22a12231，a32a223313.,1证明an为等差数列的方法： (1)用定义证明：anan1d(d为常数，n2)an为等差数列； (2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列； (3)通项法：an为n的一次函数an为等差数列；,2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1a
9、nd和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义,1已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a1 2，a22，S36. (1)求Sn； (2)证明：数列an是等差数列,解：(1)设SnAn2BnC(A0)，,例2(2012重庆高考)已知an为等差数列，且a1a38，a2a412. (1)求an的通项公式； (2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值,等差数列的基本运算,2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法,答案：(1)44(2)6,答案(1
10、)B(2)A,1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系,A6 B7 C8 D9,(2)(2013海淀期末)若数列an满足：a119，an1an 3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值 为 (),“题型技法点拨快得分”系列之（六） 特值法解等差数列问题,答案n,2特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的；用特殊值法解题时要注意，所选
11、取的特例一定要简单，且符合题设条件,答案：C,解析：法一：a2a11a1a14，a12，a9a81a8a12a4a14a2a118. 法二：a2a11a1a14，a12，令pn，q1，所以an1ana1，即an1an2，an是等差数列，且首项为2，公差为2，故a92(91)218.,答案：B,法二：令n1，只有B项符合,教师备选题（给有能力的学生加餐）,(1)求证：数列bn是等差数列； (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由,2已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a2a4 14，S770. (1)求数列an的通项公式；,所以an3n2.,(2)在(1)的条件下是否存在常数，使Cn
12、1Cn是等差数列？如果存在，求出满足条件的，如果不存在，请说明理由,知识能否忆起,2,同一个常数,公比,1等比数列的有关概念 (1)定义：,G,a1qn1,2等比数列的有关公式,(1)通项公式：an .,(2)等比中项：,3等比数列an的常用性质 (1)在等比数列an中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaqa. 特别地，a1ana2an1a3an2. (2)在公比为q的等比数列an中，数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列，公比为 ； 数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时q1)； anamqnm.,qk,小题能否全取 1(教材习题改编)等比
13、数列an中，a44，则a2a6等于 (),答案：C,答案：C,答案：A,A64 B81 C128 D243,1.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数 (2)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 2等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用 (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误,例1已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； (2)求数列an的通项公式,等比数列的判定与证明,谢谢观看！ 2020,
