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1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、平面向量数量积的物理背景及其含义1平面向量数量积的物理背景物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中为力与位移之间的夹角.而力与位移都是矢量，这说明两个 也可以进行运算.2平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的 (inner product)(或内积)，记作,即 ，其中是与的夹角.我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非
2、零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的 (projection).如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中 ，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度. （3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的 .3平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有： ；或； 当与同向时,；当与反向时, ；,其中是非零向量与的夹角； ，当且仅当向量共线,即时等号成立. （2）平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量
3、乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律： 已知向量和实数,则交换律：；数乘结合律： ；分配律：.（3）两个结论； .二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量.由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有，由于为正交单位向量，故,，从而.即 ，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 .2平面向量的模的坐标表示（1）平面向量的模的坐标公式若向量，由于，所以 .其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.（2）平面内两点间的距离公式已知原点，点，则，于是 .其含义是：向量的模
4、等于A,B两点之间的距离.3平面向量垂直的坐标表示已知非零向量，则 .4平面向量夹角的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则 .参考答案：一、1矢量2（1）数量积 （2）投影 （3）乘积 3（1） （2） （3） 二、1 和2（1）（2）34重点：向量的数量积、模、夹角.难点：数量积的综合应用.易错：对向量的夹角、向量共线等理解不正确导致错误1.重点平面向量数量积的概念下列判断：，则；已知是三个非零向量，若，则；共线；非零向量满足：，则与的夹角为锐角；若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长.其中正确的是 .【答案】【解析】由于,所以若,则,故正确； 若，则,又是三个非零向量，所以,所以,正确
5、； 共线,所以错;对于，应有，所以错;对于,应该是,所以错；当的夹角为0时，也有,因此错;表示向量在向量方向上的投影，而非投影长，故错.综上可知正确.【归纳总结】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.2.重点求向量的数量积、投影、模、夹角 （1）已知单位向量e1，e2的夹角为，且，若向量a=3e12e2，则|a|=_.（2）已知，则向量在方向上的投影为_.（3）若,且,则向量与的夹角为_.（4）已知,与的夹角为120,则_.【答案】（1）3；（2）；
6、（3）120；（4）.【解析】（1）因为a2=(3e12e2)2=9232cos 4=9，所以|a|=3.（2）因为，所以在方向上的投影为.（3）由,得,又,所以,即,设向量与的夹角为，则,所以=120,即向量与的夹角为120.（4）.【名师点评】（1）已知向量的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求与的夹角. （2）求较复杂的数量积运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.3.重点平面向量的坐标运算 （1）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=_.（2）已知向量a=(m,4)，b=(3,2)，且ab，则m=_.（3）已知向量 , 则_.（4）设
7、平面向量，若，则等于_.【答案】（1）；（2）；（3）30；（4）.【解析】（1）由题意，得（2）因为ab，所以，解得.（3）由题意，得，所以（4）因为，所以，解得从而=(1,2), .【名师点睛】（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. （2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.4难点平面向量数量积的综合应用已知三点A(2,1),B(3,2),D(1,4). （1）求证：ABAD; （2）要使四边形
8、ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.【答案】（1）见解析；（2），.【解析】（1）A(2,1),B(3,2),D(1,4),.则,即ABAD.（2）,四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x,y)，则,从而有，即，C点的坐标为.又,，矩形ABCD的对角线的长度为.【名师点睛】利用向量的坐标运算解决图形问题,常见的题型有：（1）求点的坐标：设出所求点的坐标,利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解.（2）证明两线段垂直：求证两线段所对应的向量的数量积为0即可.（3）求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可.5易错对向量的夹角理解不正确致误已知中，
9、则 .【错解】如图，因为，所以.【正解】因为，,所以.【错因分析】错解的原因在于没能正确地理解向量夹角的含义，题干中向量的起点不相同，所以它们的夹角并非角C.如上图所示，其夹角应该是角C的补角，即=120.【误区警示】在图形中求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析向量夹角是相应线段所成的角还是该角的补角(以向量共起点为切入点).6易错对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误已知向量,且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .【错解】与的夹角为钝角，即，.【正解】与的夹角为钝角，即，.又当与反向时，夹角为180，即，则，解得.应该排除反向的情形，即排除， 于是实数的取值范围为.【错因分析
10、】与的夹角为钝角并不等价于，等价于与的夹角为钝角或180.事实上，由与的夹角为钝角应得出.【误区警示】依据两向量夹角的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0时,;当夹角为180时,这是容易忽略的地方.1已知向量，则的夹角为ABC D2设向量，且，则的值为A1 B2 C3 D43已知与的夹角为，那么等于A B C D4已知向量，向量满足，的夹角为，则A B2 C D5已知向量，的夹角为，且，则在方向上的投影为A2 B4 C6 D86已知向量，则_7若向量与向量方向相反，则_8已知.（1）求的坐标；（2）当为何值时，与共线.9已知平面向量,且,则为A B C D110若等边三角形的边长为4，
11、是中线的中点，则A1 B1 C2 D211已知在中，且，则的形状为A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定12在中，则A B C D13在中，则在方向上的投影是_14已知向量是单位向量，且，则的最小值是_.15已知向量，().（1）若的夹角为锐角，求的取值范围；（2）当时，求的值. 123459101112BDCACAAAA1B 【解析】由题意得,又,所以的夹角为,故选B.2D 【解析】，那么，解得，故选D.3C 【解析】=,选C.4A 【解析】由题意可得，则.故本题选A.5C 【解析】设与的夹角为,则在方向上的投影为,选C.63 【解析】由向量的模的计算公式有.7 【解析】由向量与向量方向相反可得：，因为方向相反，所以x=4.8【解析】（1）.（2），与共线，.9A 【解析】由两向量平行的充要条件可得：，解得：，则.故本题选A.10A 【解析】因为，所以，故选A.11A 【解析】由题意得,即的形状为钝角三角形，故选A.12A 【解析】由题意有，即，由向量的坐标运算得，即，解得.故本题选A.13 【解析】中，即.又，在方向上的投影是4.如图所示故在方向上的投影是4.14 【解析】向量是单位向量，且，则，所以 ，即的最小值是，故答案为.15【解析】（1）若的夹角为锐角，则且不共线.，当时，共线，.（2），.
