239编号高中数学知识点基本概念

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1、高一数学必修 1 知识网络 集合 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这 些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 （或成员）。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。 一般地，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做 集合 B 的子集，记作，读作“A 包含于 B”，或“B 包含于 A”。ABBA或 如果集合 A 是集合 B 的子集， 并且 B 中至少有一个元素不属于 A， 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集， 记作， 读作 “A 真包含于 B”， 或 “B 真包含 A”。ABBA或 一般地，如果

2、集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每 一个元素也都是集合 A 的元素，那么我们就说集合 A 等于集合 B，记作 A=B。 一般地，对于两个给定的集合 A，B，由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的 集合，叫做 A，B 的交集，记作，读作“A 交 B”。BA 一般地，对于两个给定的集合 A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫 做 A 与 B 的并集，记作，读作“A 并 B”。BA 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的 集合，叫做 A 在 U 中补集，记作，读作“A 在 U 中的补集”。CuA 1 2 3 4 12n

3、xAxBABAB AnA （）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （ ）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素（ ）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （ ）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若，则，即 是 的子集。 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有个， 注 关系 集合 集合与集合 00 (2 -1) 2 3, , ,. 4 / n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有个。 、任何一个集合是它本身的子集，即 、对

4、于集合如果，且那么 、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。 集合相等：且 定义：且 交集 性质：， 运算 , / ()( )( )-() / ()()()()()() U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B ， 定义：或 并集 性质：， 定义：且 补集 性质：， ()()() UUU CABC AC B 1对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无

5、序性”。 如 ： 集合|lg|lg( , )|lgAx yxBy yxCx yyxABC， 、 、中元素各表示什么？ 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 2 |230|1Ax xxBx ax，若BA，则实数a的值构成的集合为 答： 1 10 3 ， ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3注意下列性质： （1）集合 12n aaa， ， ，的所有子集的个数是2n （2）若ABABAABB，； 4你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式 2

6、 5 0 ax xa 的解集为M，若3M且5M，求实数a的取值范围。 2 2 35 30 5 3 19 25 553 50 5 a M a a a M a ， ， ， 函数 函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 值， 相应地就确定唯一的一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 定义定义 设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一 个元素 x，在 B 中有且仅有一个（唯一确定）元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。 这时， 称 y 是 x 在映射 f 的作用下

7、的象， 记作 f(x)。 于是 y=f(x)， x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为：f：AB， xf(x).其中 A 叫做映射 f 的定义 域（函数定义域的推广），由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作 f(A)。 注意： 1. “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 2. 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x。 3. 集合 A 和 B 是有先后顺序的， A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的， 其中 f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。 4. “有且仅有一个（唯

8、一确定）”意思是：一是必有一个，二是只有一个，也 就是说有且只有一个的意思。 构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对 应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称 这两个函数相等（或为同一函数）。 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变 量和函数值的字母无关。 区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集合 B 中的任意一个元素， 在集合 A 中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元

9、素之间存在一一对应 关系，并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射。 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则， 这样的函数通常叫作分段函数。 函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, （1）若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则说 f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当 x1f(x2)，则说 f(x) 在这个区间上是减函数。 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 则就说函数 y=f(x)在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间。此时也说函

10、数是这 一区间上的单调函数。 判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 任取 x1，x2D，且 x11，且 * axnxannnN 当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数， 负数的 次方根是一个负数 此时，nnn 的 次方根用符号表示an n a 式子叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被 n ana 开方数（radicand） 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的nna 正的 次方根用符号表示，负的 次方根用符号表示正的 次方根与负n n an n an

11、 的 次方根可以合并成（ 0）n n aa 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n 表表 1 指数函数 0,1 x yaaa 对数数函数 log0,1 a yx aa 定 义 域 xR 0,x 值 域 0,yyR 图 象 过定点(0,1) 过定点(1,0) 减函数增函数减函数增函数 (,0)(1,) (0,)(0,1) xy xy 时， 时， (,0)(0,1) (0,)(1,) xy xy 时， 时， (0,1)(0,) (1,)(,0) xy xy 时， 时， (0,1)(,0) (1,)(0,) xy xy 时， 时， 性 质 abab ab ab 底数越小越

12、接近坐标轴 底数越大越接近坐标 轴 底数越小越接近坐标轴底数越大越接近坐标轴 表表 2幂函数()yxR p q 00111 p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象限 性质 减函数增函数过定点01（ ， ） , (0, ,) ()(0, ,) ()(0,0,) (01) 1 lo mn a na nm n aa rsrs a aaar sQ r srs aaar sQ rr s aba babrQ x yaaa x 根式：为根指数， 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数性质 定义：一般地把函数且叫做指数函数。 指数函数 性质：见表

13、对数： 基本初等函数 对数的运算 对数函数 g, log()loglog; logloglog; . loglog;(0,1,0,0) log log(01) 1 log ( ,0,1,0) log c a c N aN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa yx aa a b ba ca cb a 为底数，为真数 性质 换底公式： 定义：一般地把函数且叫做对数函数 对数函数 性质：见表 且 yxx 幂函数 定义：一般地，函数叫做幂函数， 是自变量，是常数。 性质：见表2 以 10 为底的对数叫做常用对数。 换底公式： b N N a a b log log l

14、og 自然对数：以 e 为底的对数叫做自然对数。 积、商、幂的对数运算法则： （1）loga(MN)=logaM+logaN loga(N1 N2 N3Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+logaNk 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。 （2）loga()=logaM-logaN N M 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。 （3）loga=logaM M 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 幂函数定义幂函数定义：一般地，函数 y=xa叫做幂函数，x 是自变量，a 是常数。 幂函数的性质： 1、所有的幂函数在(0，+)都有定义

15、，并且图象都过点（1，1）（原因 ： 1x=1）; 2、 在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴（简记为指大图低） ； 在(1，+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴。 3、 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，值域是 否出现在第二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同 事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。 4、 幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：（1）为 0；（2）为正整数； （3）为负整数；（4）为正分数；（5）为负分数。 5、 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出 幂函数在第一象限的图象， 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内 完整的图象。 6、幂函数的图象主要分为以下几类：)(Rxy (1) 当=0 时，图象是过(1，1)点平行于 x 轴但抠去(0，1)点的一条“断”直线 ； (2) 当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、第二象限及原点。 (3) 当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、第三象限及原点。 (4) 当为负偶数时，幂