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1、 9.函数与方程 一、知识要点 1. 零点的概念 （1）定义 使函数0)(xf的实数x的值叫)(xf的零点 . （2）几何意义及代数意义 )(xf的零点曲线)(xfy与x轴的交点的横 坐标方程0)(xf的实根 . 2. 零点的性质 （1）函数)(xf的图象穿过零点时，函数值变号； （2）相邻两零点之间的函数值同号. 3. 零点存在性的判断（零点定理） （ 1 ） 在 区 间,ba上 的 连 续 函 数)(xf满 足 0)()(bfaf，则至少存在一个实数c，使得 0)(cf， 即)(xf在),(ba上至少存在一个零点c. 若)(xf在),(ba上严格单调，则在),(ba上存在唯 一实数c，使得
2、0)(cf. 4. 求方程的实根（或判断实根个数）的方法 （1）代数法：解方程0)(xf； （2）数形结合法： 求曲线)(xfy与x轴的交点； （3）辅助函数法： 求曲线)(xfy与)(xgy的 交点个数， 转化为求函数)()()(xgxfxF的零 点个数 . 5. 用“二分法”求零点的近似值 （ 1 ） 给 定 区 间,ba及 精 确 度， 验 证 0)()(bfaf； （2）求区间,ba的中点c，计算)(cf； （3）验证)()(cfaf与)()(cfbf的符号： 若0)(cf，则c为零点； 若0)()(cfaf， 则 零 点),( 0 cax， 令 bc； 若0)()(cfbf， 则 零
3、 点),( 0 bcx， 令 ac； 判断ab是否成立， 若成立，则任取ba,中 的一个数为零点，否则，重复至的步骤. 二、考点演练 题型一：确定零点所在的区间 1. 设函数 3 xy与 2 2 1 x y的图象的交点为 ),( 00 yx，则 0 x所在的区间是（） A.) 1 ,0( B.)2 ,1 ( C.)3 ,2( D.)4 , 3( 2. 已知函数bxxxf a log)() 10(aa且， 当432ba时 ， 函 数)(xf的 零 点 )1,( 0 nnx)(Nn，则n_. 题型二：确定区间上零点的个数 3. 若函数cbxaxxxf 23 )(的两个极值点 为 21,x x， 且
4、 11) (xxf， 则 关 于x的 方 程 0)(2)(3 2 bxafxf 的 不 同 实 根 个 数 为 _. 4. 已 知 定 义 在R 上 的 偶 函 数)(xfy满 足 )1()1 (xfxf，且当1 , 1x时， 2 )(xxf，则方程xxflg)(的实数解的个数为 _. 题型三：利用零点确定参数的值或取值范围 5. 设 方 程03log 3 xx的 根 为 1 x， 方 程 033x x 的 根 为 2 x， 则 21 xx的 值 为 _. 6.已 知 函 数 2 1 )( 2x exxf)0(x与 )ln()( 2 axxxg的图象上存在关于y轴对 称的点，则a的取值范围是
5、_. 7. 设)(xf是定义在R上的偶函数，对于Rx， 都 有) 1()1(xfxf， 且 当0, 1x时 ， 1 4 1 )( x xf，若在区间7, 1(内关于x的方 程0)1(log)(xxf a )10(aa且恰有 7个 不同的实数根，则a的取值范围是_. 题型四：零点的综合应用 8. 设函数cbxxxf n n )(),(RcbNn. （ 1）设1, 1,2cbn，证明：)(xf n 在区间 1 , 2 1 内存在唯一零点； （ 2 ） 设2n， 若 对 于 1 ,1, 21 xx， 有 4)()( 2212 xfxf，求b的取值范围； （3）在（ 1）的条件下，设 nx 是)(xf
6、n 在 1 , 2 1 内 的零点，判断数列, 32n xxx的增减性 . 9. 设函数 2 ( )(2.71828 x x f xc e e 是自然对 数的底数，)cR. （1）求( )f x的单调区间及最大值； （2）讨论关于x的方程| ln|( )xf x根的个数 . 9. 函数与方程 一、知识要点 1. 零点的概念 （1）定义 使函数0)(xf的实数x的值叫)(xf的零点 . （2）几何意义及代数意义 )(xf的零点曲线)(xfy与x轴的交点的横坐标方程0)(xf的实根 . 2. 零点的性质 （1）函数)(xf的图象穿过零点时，函数值变号； （2）相邻两零点之间的函数值同号. 3. 零
7、点存在性的判断（零点定理） （1）在区间,ba上的连续函数)(xf满足0)()(bfaf，则至少存在一个实数c，使得 0)(cf，即)(xf在),(ba上至少存在一个零点c. 若)(xf在),(ba上严格单调， 则在),(ba 上存在唯一实数c，使得0)(cf. 4. 求方程的实根（或判断实根个数）的方法 （1）代数法：解方程0)(xf； （2）数形结合法：求曲线)(xfy与x轴的交点； （ 3 ） 辅 助 函 数 法 ： 求 曲 线)(xfy与)(xgy的 交 点 个 数 ， 转 化 为 求 函 数 )()()(xgxfxF的零点个数 . 5. 用“二分法”求零点的近似值 （1）给定区间,b
8、a及精确度，验证0)()(bfaf； （2）求区间,ba的中点c，计算)(cf； （3）验证)()(cfaf与)()(cfbf的符号： 若0)(cf，则c为零点； 若0)()(cfaf，则零点),( 0 cax，令bc； 若0)()(cfbf，则零点),( 0 bcx，令ac； 判断ab是否成立，若成立，则任取ba,中的一个数为零点，否则，重复至的步 骤. 二、考点演练 题型一：确定零点所在的区间 1. 设函数 3 xy与 2 2 1 x y的图象的交点为),(00yx，则0 x所在的区间是（） A.)1 , 0( B.)2, 1( C.)3 ,2( D.)4,3( 【解析】令 2 3 2 1
9、 )( x xxf. 则0440)0(f；0121)1(f； 0718)2(f. 所以0)2() 1(ff，所以0 x所在的区间是)2 , 1(. 选 B. 2. 已知函数bxxxf a log)() 10(aa且，当432ba时，函数)(xf的零点 )1,( 0 nnx)(Nn，则n_. 【解析】令 2x ，则bf a 22log)2( 03b，0433log)3(bbf a ，所以)(xf的零点)3 ,2( 0 x，则2n. 题型二：确定区间上零点的个数 3. 若函数cbxaxxxf 23 )(的两个极值点为 21,x x，且 11) (xxf，则关于x的方程 0)(2)(3 2 bxaf
10、xf的不同实根个数为_. 【 解 析 】baxxxf23)( 2 ， 因 为 21,x x是)(xf的 两 个 极 值 点 ， 所 以 21, x x是 023)( 2 baxxxf的两根，于是方程0)(2)(3 2 bxafxf的解为 1 )(xxfor 2 )(xxf. 不妨令 21 xx，因为 11) (xxf，所以同图象知 1 )(xxf有两解， 2 )(xxf只有一解，所 以共有 3 个实数解 . 4. 已 知 定 义 在R 上 的 偶 函 数)(xfy满 足)1()1(xfxf， 且 当1 , 1x时 ， 2 )(xxf，则方程xxflg)(的实数解的个数为_. 【解析】方程xxf
11、lg)(的实数解的个数即为函数)(xfy与xylg的图象的交点个数. 由已知得)(xfy是周期为2 的周期函数，其图象如图所示，当10 x时，1lg x，所以 共有 9 个交点，即方程有9 个实数解 . 题型三：利用零点确定参数的值或取值范围 5. 设方程03log 3 xx的根为 1 x，方程033x x 的根为 2 x，则 21 xx的值为 _. 【解析】 1 x即为xy 3 log与xy3的图象的交点M的横坐标； 2 x即 x y3与xy3的 图象的交点N的横坐标 . 因为xy 3 log与 x y3的图象关于直线xy对称，直线xy3 也关于xy对称，所以两个交点关于xy对称，于是xy3
12、与xy的交点 P 即为 MN 的中点，所以32 21P xxx. 6. 已知函数 2 1 )( 2x exxf)0(x与)ln()( 2 axxxg的图象上存在关于y轴对称 的点，则a的取值范围是_. 【解析】在)(xf上存在点),( 00 yx，其关于y轴的对称点),( 00 yx在)(xg的图象上， 所以)ln( 2 1 0 2 0 2 0 0 xaxex x ， 即0 2 1 )ln( 0 0 xae x . 等价于函数 2 1 )ln()(xaexh x 在)0 ,(存在零点 . 因为0 1 )( ax exh x ，所以)(xh在)0,(递增，当x时，)(xh，要使 )(xh在)0,
13、(存在零点，只需0 2 1 ln1)0(ah， 即ea，所以),(ea. 7. 设)(xf是定义在R上的偶函数，对于Rx，都有)1()1(xfxf，且当0 ,1x 时，1 4 1 )( x xf，若在区间7 , 1(内关于x的方程 0)1(log)(xxf a )10(aa且恰有 7 个不同的实数根，则a的取值范围是 _. 【解析】 方程0)1(log)(xxf a 在7, 1(有 7 个实数根， 即为)(xf与) 1(logxy a 的 图象有7 个交点，由已知得)(xf是周期为2 的周期函数，由图象得 3) 17(log 3)15(log a a ，解之 得)2,6( 3 a. 题型四：零
14、点的综合应用 8. 设函数cbxxxf n n )( ),(RcbNn . （1）设1, 1,2cbn，证明：)(xf n 在区间 1 , 2 1 内存在唯一零点； （2）设2n，若对于 1 , 1, 21 xx，有4)()( 2212 xfxf，求b的取值范围； （3）在（ 1）的条件下，设 n x是)(xfn 在 1 , 2 1 内的零点，判断数列, 32n xxx的增减 性. 【解析】（1）当1,1,2cbn时，1)(2, 11xxxfncb n n 时，. ），在（1 2 1 )(, 01) 2 1 2 1 () 1() 2 1 (xfff n n nn 内存在零点. 又因为当 1 ,
15、 2 1 x时，01)( 1n n nxxf， ）内存在唯一零点。，在（）上是单调递增的，在（1 2 1 )(1 2 1 )(xfxf nn ， ）内存在唯一零点。，在（）上是单调递增的，1 2 1 )(xfn . （2）当2n时，cbxxxf 2 2 )(. 对任意 1 , 1)(4)()( 1 , 1, 2221221 在等价于都有xfxfxfxx 1, 1)(4)()( 22212 在等价于有xfxfxf上的最大值与最小值之差4M. 据此分类讨论如下： 1.时，即当2, 1 2 b b . 与题设矛盾, 42)1()1( 22 bffM. 2.时，即当20, 0 2 -1-b b . 恒
16、成立,4)1 2 () 2 () 1( 2 22 bb ffM . 3.时，即当02-, 1 2 -0b b . 恒成立,4)1- 2 () 2 ()1- ( 2 22 bb ffM. 综上得22-b. （3）证法一：设 n x是)(xf n 在 1 , 2 1 内的唯一零点. 1 , 2 1 (, 01)(,01)(11 1 111nn n nnnn n nnnxxxxfxxxf ) 1 , 2 1 (, 01)(, 01 11 1 111nn n nnnn n n xxxxfxx. 则1)(0)( 1 1 111n n nnnnn xxxfxf )(1 111nnn n n xfxx . 又由（ 1）知)(xf n 在 1 , 2 1 上递增，所以 1nn xx)2(n. 所以数列, 32n xxx是递增数列 . 9. 设函数 2 ( )(2.71828 x
