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1、第七章静电场中的导体和电介质 7-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷q ，金属球半径为 R，已 知q与金属球心间距离为r。试求： （1） 金属球上感应电荷在球心处产生的电场 强度 E 及此时球心处的电势V ； （2）若 将金属球接地，球上的净电荷为多少 题 7-1 图 解： （1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电 场强度 E 与点电荷q在球心处产生的电场强度E 大小相等，方向相反。 2 0 4r q EEE 的方向由 O指向q 点电荷q在球心处的电势为 r q Vq 0 4 金属球表面感应电荷在球心的电势为 R V，由于球表面感应电荷量总和为零， ss
2、R dq RR dq V0 4 1 4 00 故球心电势为 q V和 R V的代数和 r q VVV Rq 0 4 （2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势0V。设球上净电荷 为q。球面上的电荷在球心处的电势为 ss R R q dq RR dq V 000 44 1 4 点电荷q在球心的电势为 r q Vq 0 4 由电势叠加原理0 qR VVV qR VV r q R q 00 44 q r R q 7-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板 B 移近一块已带有正电荷Q的金属板 A， 平行放置。 设两板面积都是 S，板间距是 d ，忽略边缘效应。 求： （1） B 板不接地时，
3、两板间的电势差； （2） B 板接地时，两板间电势差。 A B Q S 1234 d 题 7-2 图 解： （1）如图，设 A、 B两金属板各表面的面电荷密度分别为 1、2、3、4。 由静电平衡条件可知 0 2222 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 0 4 0 3 0 2 0 1 解得 32 41 又 43 0QSS 21 故 124 2 Q S 3 2 Q S 两板间为匀强电场，电场强度 3124 00000 22222 Q E S 两板间的电势差 S Qd EdU 0 2 （2）若 B板接地，则有 S Q 32 41 0 两板间的电场强度 32 000 22 Q E S 两板
4、间的电势差 S Qd EdU 0 7-3 BA、为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S，板间距离为 d ，使BA、板带电分别为 A q、 B q，且 AB qq。求： （1） A板内侧的带电量； （2）两板间的电势差。 解： （1）如图，设 A、 B 两板各表面的 电荷面密度分别为 1、2、3、4。 由题意 B A qSS qSS 43 21 又由静电平衡条件（参考题7-2）得 14 23 题 7-3 图 由、解得 14 23 2 2 AB AB qq S qq S 故板内侧的带电量 2 22 BA qq Sq （2）两板间为匀强电场，电场强度 3124 00000 22222 AB
5、qq E S 两板间电势差 0 2 AB qq UEdd S 7-4如图所示，半径为 1 R的导体球带有电荷q，球外有一个内半径为 2 R的同 心导体球壳，壳上有电荷Q。 （1）求球与壳的电势差 12 U； （2）用导线把球和壳连接 在一起后，其电势为多少 解： （1）导体球与球壳之间的电场强度为 2 0 4r q E 球与壳的电势差 2 1 2 1 2 0 12 4 R R R R r drq EdrU 题 7-4 图 ) 11 ( 4210RR q （2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静 电平衡时，球与球壳为等势体， 1221 VVV。所有电荷（Qq）均匀分
6、布在球壳外 表面。球壳外电场强度为 2 0 4r qQ E 球与球壳的电势 22 2 002 44 RR Qq drQq VEdr rR 7-5 如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构 成。设圆柱体的电势为 1 V，半径为 1 R，圆管的电势为 2 V，内半径为 2 R，求它们之间 离轴线为r处( 12 RrR )的电势。 解：设圆柱体表面沿轴线单位长度 所带电量为，在距轴线为r的任意一点 P 的场强为 r E 0 2 12 RrR 题 7-5 图 P 点与圆柱体的电势差 11 1 001 ln 22 rr P RR drr VVEdr rR 圆管与圆柱体的电势差 2
7、1 2 1 1 2 00 21 ln 22 R R R R R R r dr EdrVV 由、两式消去，得 P点电势 )ln( )ln( )( 1 2 1 211 R R R r VVVVP 7-6 实验表明： 在靠近地面处有相当强的电场，E 垂直于地面向下， 大小约为 1 100mV。试求： （1）地面的面电荷密度；（2）地面的每平方米所受的库仑力。 解：设地球带电荷 q 。由高斯定理，地球表面电场 2 0 4 e R q E ERq e 2 0 4 电荷 q 均匀分布于地球表面，则地面面电荷密度 210 02 2 0 1085.8 4 4 mCE R ER S q e e 地面每平方米受库
8、仑力NEF 8 1085.8 7-7 如图所示，一平行板电容器两极板间充 满了电容率为的均匀介质，已知极板上的面电荷 密度分别为 0和0。略去边缘效应。求电介质中 的电场强度 E 、极化强度 P 、电位移 D ，介质表面的 题 7-7 图 极化电荷面密度。 解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为 00 En 其中 0 n为沿极板法线方向的单位矢量，方向从 0极板指向0极板。两极板电 介质中的电位移为 0 0 DEn 极化强度 00000 0000 (1)PDEnnn 由于极化电荷都在介质的上下两表面，故极化电荷体密度0。两极板间介质 中的电场 E 为板上自由电荷产生的电场 0 E和介质表面束
9、缚电荷产生的电场E 的叠加。 设介质表面极化电荷面密度为。 0 0 0 E 0 E EEE0 0 )( 1 0 0 0 0 0 )1 ( 对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为。靠近带负电荷极板 的介质表面，极化电荷面密度为。 7-8 如图所示，平行板电容器两极板相 距为 d ，接到电压为 U 伏的电源上，在其间 插入厚为x、相对电容率为 r的玻璃平板。 略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强 度。 题 7-8 图 解：设电容器极板上电荷面密度为 0，则两极板间空气间隙中的场强为 0 0 0 E 玻璃平板中的场强为 r E 0 00 EE r0 两极板间的电位差xExdEU)( 0
10、由、两式可得 0 () r r U E dxx () r U E dxx 7-9 在相对电容率为 1r 、半径为 R的均匀电介质球的中心有一点电荷q，介质 球外的空间充满相对电容率为 2r 的均匀电介质。求距q为r( rR)处的场强及电势 （选无穷远处为电势零点） 。 解：介质球中心的点电荷q产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外 的场强分别为 2 10 1 4r q E r （ rR ） 2 20 2 4r q E r （ rR） 选无穷远处为电势零点，距q 为r（ rR）处的电势 R rr R r R q Rr q drEdrEV 2010 21 4 ) 11 ( 4 7-10 有
11、一面积为 S、间距为 d 的平行板电容器。 （1） 在板间平行于极板面插入厚度为 3 d ，面积 也为 S的相对电容率为 r的均匀电介质板，计 算其电容； （2）若插入的是同样尺寸的导体板， 求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电 容有无影响 d1 d2 d3 V VB A + - 题 7-10 图 解：设电容器极板所带电荷面密度为 （1）两极间电势差 332211 dEdEdEVV BA 123 000r ddd 2 0 31 0 )(ddd r 由 3 31 d ddd， 3 2 d d 得 r BA dd VV 00 33 2 电容 d S d S VV Q C r r r r BA
12、 )12( 3 ) 12 ( 3 0 0 （2）若插入导体板，则0 2 E 113313 00 AB VVE dE ddd 13 000 2 ()() 33 dd ddd 电容 d S d S VV Q C BA 2 3 3 2 0 0 （3）上下移动介质板或导体板对电容无影响。 7-11 如图所示，一无限大平行板电容器，设BA、两板相距cm0. 5，板上各带 电荷 26 103 .3mC， A板带正电， B 板带负电并接地（地的电势为零） ，求： （1）在两板之间距 A板cm0.1处 P 点的电势； （2） A板的电势。 解： （1）平板电容器两板间场强 0 E P点电势 VrdVrdEV
13、BP 4 0 1049.1)()( （2） A板的电势 d BA P r 题 7-11 图 VdVEdV BA 4 0 1086.1 7-12 面积是 2 2.0m的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，两板电势差为 1000V ，略去边缘效应。试求： （1）电容 C ； （2）各板上的电量Q、电荷的面密度和板间电场强度 E 的值。 解： （1）平板电容器电容 FF d S C 390 1054.31054.3 （2）各板上的电量CCUQ AB 6 1054.3 板上电荷的面密度 26 1077. 1mC S Q 板间电场强度 E 的值 15 0 100 .2CNE 7-13 如 图所 示 ，
14、 电容 器由三 片面 积 都 是 2 0.6cm的锡箔构成，相邻两箔间距离都是mm10.0， 外边箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极， 题 7-13 图 （1）求电容 C ； （2）若在这电容器上加V220电压，问三箔上电荷的面密度各是多少 解： （1）三片锡箔组成的电容器，其电容相当两个电容器的并联。 pFF d S d S CCC 21000 21 1006.11006.1 （2）总电量CCUQ 8 1034.2 对于中间一片锡箔，总电量Q均匀分布在箔的两面，故锡箔面电荷密度 25 1095. 1 2 mC S Q 7-14如图所示，同心球电容器内外半径分别为 1 R和 2 R，两球
15、间充满相对电容 率为 r的均匀介质，内球带电量 Q，试求： （1）电容器内外各处电场强度E 和两球的电势差 U ； （2）电介质中电极化强度P 和极化电荷面密度； （3）电容 C 。 解： （1）内球所带电荷Q，在外球壳内外两表面感应出电荷Q和Q，两球间及 球外电场具有球对称性，由高斯定理 0 12 0 4 r Q r Er（ 12 RrR） 0 2 2 0 4 Q r Er（ 2 rR） 两球的电势差 22 11 1 0 4 RR RR r Qdr UE dr r 题 7-14 图 012 11 () 4 r Q RR （2）电介质中的极化强度 0 0101 2 (1) () 4 r r Q
16、 r PDEEr 极化电荷分布在靠近内外球表面的球面上，极化电荷面密度分别为 2 1 11 4 )1( cos R Q P r r （靠近内球表面 1 ） 2 2 22 4 )1( cos R Q P r r （靠近内球表面0 2 ） （3）由两球的电势差 012 11 () 4 r Q U RR ，电容器电容为 12 210 210 4 ) 11 ( 4 1 RR RR RR Q U Q C r r 7-15 一电容率为 0的无限大均匀介质中，有一个半径为 R的导体球，带电荷 Q。求电场的能量。 解：导体球的电荷均匀分布在外表面，球内不存在电场，电场只存在于球体外， 其空间分布为0 1 E（ 0rR） 2 0 2 4r Q E（ rR） 此时，电场的能量为 RRR R Q r drQ drr r Q dVEW 0 2 2 0 2 22 2 0 0 2 20 88 4) 4 ( 2 1 2 1 7-16 一空气球形电容器内外球壳的半径分别为 1 R和 2 R，分别带有等量异号电 荷，电势差为 U 。试求： （1）电势能；（2）电场
