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1、基础知识 平面中两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况,一、两直线平行 对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2. l1l2 . 对于直线l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20. l1l2 两平行线AxByC10和AxByC20的距离为d .,k1k2且b1b2,A1B2A2B1且A2C1A1C2(或B1C2B2C1),二、两直线相交 1两直线垂直 对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2. l1l2k1k2 . 对于直线l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20. l1l2A1A2B1B2 .,1,0,2两条直线的夹角 l1到l2的角：直线l1与l
2、2相交，l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，记为1. 计算公式：tan1 ,l2到l1的角：直线l1与l2相交，l2依逆时针方向旋转到与l1重合时所转的角，叫做l2到l1的角，记为2. 计算公式：tan2 (12 ),l1与l2的夹角：将1与2中不超过90的角，叫做l1与l2的夹角，记为. 计算公式：tan ,三、两直线重合 两条直线重合的充要条件是它们对应的方程完全相同,四、点与直线的位置关系 设点P(x0，y0)，直线l：AxByC0，则 1点在直线上：Ax0By0C0. 2点在直线外：Ax0By0C0. 3点到直线的距离d .,五、直线系 与AxByC0平行的
3、直线方程(包括原直线)：AxBy0(为待定系数). 若所求直线过P(x0，y0)点，且与AxByC0平行，则方程为：A(xx0)B(yy0)0. 与AxByC0垂直的直线方程为：BxAy0(为待定系数).,若所求直线过P(x0，y0)点，且与AxByC0垂直，则方程为：B(xx0)A(yy0)0. 过A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线方程为：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(R，且不包含直线A2xB2yC20),易错知识 一、判定两直线的位置关系时忽视特殊情况而失误 1已知直线(2m2m3)x(m2m)y4m1与直线2x3y50平行，则m_.,二、忽视各种直线系的限制
4、条件而失误 2已知点P(1,1)和直线l：3x4y200，则过点P且与l平行的直线方程为_；过点P与l垂直的直线方程是_ 答案：3x4y104x3y70,3已知直线l1xy20，l22x3y30，则经过l1、l2的交点且与已知直线3xy10平行的直线方程是_ 答案：15x5y160,三、求点到直线的距离及两平行线间的距离失误 4两平行线3x4y50与6xay300间距离为d，则ad_. 答案：10 5已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点 (1)若点A(5,0)到l的距离为3，则l的方程为_ (2)点A(5,0)到l的距离的最大值为_ 答案：(1)x2或4x3y50(2),回归教材 1(
5、教材P584题改编)已知直线l1的斜率为0，且直线l1l2，则直线l2的倾斜角为() A0B135 C90D180 解析：因为直线l1的斜率为0，则直线l1与x轴平行或重合，又l1l2，l2x轴，l2的倾斜角为90. 答案：C,2(教材P542题改编)直线y2与直线xy20的夹角是(),解析：直线y2与直线xy20的斜率分别为k10，k21. 答案：A,3已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是() A4x2y5 B4x2y5 Cx2y5 Dx2y5 即4x2y50. 答案：B,4过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线yxm平行，则|AB|的值为() A6 B. C
6、2 D不能确定 答案：B,5若原点到直线axy70的距离为5，那么a_.,【例1】已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m、n的值，使 (1)l1与l2相交于点P(m，1)； (2)l1l2； (3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.,命题意图考查两条直线平行与垂直的充要条件. 分析两直线的位置关系与方程系数的关系是解本题的关键. 解答(1)m28n0，且2mm10， m1，n7.,(2)由mm820，得m4. 即m4，n2时，或m4，n2时，l1l2.,(3)当且仅当m28m0，即m0时，l1l2， 又 1，n8. 即m0，n8时，l1l2且l1在y轴上的截距为1. 总结
7、评述若直线l1、l2的方程分别为A1xB1yC10与A2xB2yC20，则l1l2的必要条件是A1B2A2B10；而l1l2的充要条件是A1A2B1B20. 解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作,(2009安徽，7)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是() A3x2y10 B3x2y70 C2x3y50 D2x3y80 答案：A 解析：与直线2x3y40垂直的直线可设 为3x2yc0, 将点(1,2)代入解得c1， 3x2y10.故选A.,(2009广州一模)已知过A(1，a)、B(a,8)两点的直线与直线2xy10平行，则a的值为 () A10 B2 C5 D17 答
8、案：B 解析：由平行直线斜率相等得：2 a2.,【例2】等腰直角三角形，斜边中点是M(4,2)，一条直角边所在的直线方程是y2x，求另外两边所在的直线方程,解析设斜边所在直线AB的斜率为k，由题意，斜边与直角边夹角为45，所以tan45 ，解得k3或k 当k3时，斜边方程为y23(x4)， 即3xy140.,另一条直角边所在方程：x2y20. 当k 时，同理可得另两边所在的直线方程： x3y20，x2y140.,总结评述应用平面几何知识求几何图形各边所在直线时，经常使用夹角与到角公式，要注意采集已知条件中所含信息以便于选用公式，切忌不考虑图形特点盲目使用两公式的做法如果不能确定是哪条直线到哪条
9、直线的角，可先用夹角公式进行运算再对运算结果用图形或借助题目其它条件进行检验和取舍,(2008全国，11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为xy20与x7y40，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为() A3 B2,答案：A 解析：设底边所在直线的斜率为k，由等腰三角形的底角相等及到角公式得,已知直线l经过两条直线l1：x2y0与l2：3x4y100的交点，且与直线l3：5x2y30的夹角为 ，求直线l的方程 分析：先求l1与l2的交点，再利用l与l3的夹角为 求l的斜率，通过点斜式可得l的方程,解得l1和l2的交点坐标为(2，1) 设所求直线l的方程为y1k(x2),故所求的直线
10、l的方程为 即7x3y110或3x7y130. 拓展探究：本题也可用直线系方程求解 设l：(x2y)(3x4y10)0， 求出斜率，再用夹角公式求得，即得l方程.,【例3】已知点P(2，1)，求： (1)过P点与原点距离为2的直线l的方程； (2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由,解析(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件 此时l的斜率不存在，其方程为x2. 若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)， 即kxy2k10.,此时l的
11、方程为3x4y100. 综上所述，可得直线l的方程为x2或3x4y100.,(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线， 由lOP，得klkOP1. 由直线方程的点斜式得y12(x2)， 即2xy50， 即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直,(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过 的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线,(2008浙江嘉兴质检)点(0,1)到直线y2x2的距离为() 答案：A,(2007西安八校联考)若点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则a的值为() A3 B3 C7 D7
12、命题意图：本题主要考查点到直线的距离公式和线性区域是一个小综合题，也代表了今后的高考趋势 答案：A,又2a330，所以a3.故选A.,【例4】求直线a：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线b的方程 分析先解直线a与直线l的方程构成的方程组，求出交点E的坐标，则E点也在直线b上，再寻求直线b满足的另外一个条件即可,解得a与l的交点E(3，2)且点E也在直线b上,方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为 则 解得k . 直线b的方程为y(2) (x3)， 即2x11y160.,方法二：在直线a上取一点A(2,0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为B(x0，y0),
13、即2x11y160.,方法三：设直线b上的动点P(x，y)，关于l的对称点Q(x0，y0)在直线a上，则,Q(x0，y0)在直线a：2xy40上， 化简得2x11y160，即为所求的直线b的方程,拓展提升解对称问题要抓住两类：点对称和轴对称，若两点A、B关于点P对称，则P是线段AB的中点；若两个图形C1、C2关于点P对称，则C1上任一点关于P的对称点必在C2上，反之也成立若两点A、B关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线，若两个图形C1、C2关于直线l对称，则C1上任意一点关于l的对称点必在C2上，反之也成立,在直线l：3xy10上求一点P，使点P到A(1,7)和B(0,4)的距离之和最小
14、 分析：求出点B(0,4)关于直线l的对称点B的坐标，直线AB与直线l的交点即为所求的点P.,解答：把A(1,7)，B(0,4)代入直线l：3xy10的左边， 31710,30410， A、B两点在直线l的同一侧 设点B关于直线l的对称点B(m，n)， 则kBBkl1，即 31， m3n120. 又由于线段BB的中点坐标为 且在直线l上，,即l与AB的交点坐标为(2,5)， 所以，所求点P的坐标为(2,5),规纳总结：当两个定点在直线l的同侧时，在直线l上存在一点P到两定点的距离之和最小，而当两定点位于直线的异侧时，在直线l上存在一点P到两定点的距离之差最大解决方法都是转化为求点关于直线l的对
15、称点,1两直线l1：A1xB1yC10，与l2：A2xB2yC20的位置关系可由系数比来确定当系数不为0时，有：l1l2,2注意“夹角”与“到角”的区别 3直线系方程主要掌握： 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含l2)； 与直线ykxb平行的直线系方程：ykxm(mb)； 过定点(x0，y0)的直线系方程yy0k(xx0)及xx0.,4直线a，b关于直线l对称，则应具有下列几何性质： 若a与b相交，则l是a、b夹角的平分线；若a与b平行，则bl且a、b与l的距离相等； 若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，并且ABl，AB的中点在l上； 设P(x，y)是所求直线上一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程,请同学们认真完成课后强化作业,
