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1、复合函数问题一、复合函数定义:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若A B,则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.二、复合函数定义域问题: (1)、已知的定义域,求的定义域思路:设函数的定义域为D,即,所以的作用范围为D,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,E为的定义域。例1. 设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为_。解析:函数的定义域为(0,1)即,所以的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以解得,故函数的定义域为(1,e)例2. 若函数,则函数的定义域为_。解析:先求f的作用范围,由,知即f的作用范围为,又f对f(x
2、)作用所以,即中x应满足即,解得故函数的定义域为(2)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为的定义域。例3. 已知的定义域为,则函数的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得所以f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以即函数的定义域为例4. 已知,则函数的定义域为-解析:先求f的作用范围,由,知解得,f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以,即的定义域为(3)、已知的定义域,求的定义域思路:设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。例5. 若函数的
3、定义域为,则的定义域为_。解析:的定义域为,即,由此得的作用范围为,又f对作用,所以,解得即的定义域为评注:函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。三、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数.若在区间 )上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间 )上是增函数.证明:在区间)内任取两个数,使因为在区间)上是减函数,所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,故函数在区间)
4、上是增函数.(2)复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数的单调性判断步骤: 确定函数的定义域; 将复合函数分解成两个简单函数:与。 分别确定分解成的两个函数的单调性; 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。(4)例题演练例1、 求函数的单调区间,并用单调定义给予证明解:定
5、义域 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证:在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时,若,为增函数,为增函数.若,为减函数.为减函数。当时,若,则为减函数,若,则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0,1上是x的减函数,求a的取值范围.解:a0且a1当a1时,函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0,1上x的减函数,知y=t是增函数,a1由x0,1时,2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0,1上x的减函数,知y=t是减函数,0a1由x0,1时,2-2-10, 0a1综上述,0a1或1a2例4、已知函数(为负整数)的图象经过
6、点,设.问是否存在实数使得在区间上是减函数,且在区间上是减函数?并证明你的结论。解析由已知,得,其中 即,解得为负整数,即 ,假设存在实数,使得满足条件,设,当时,为减函数,,当时, 增函数,.由、可知,故存在一指数函数与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数;(二)主要方法:1解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3比较几个数的大小的常用方法有:以和为桥梁;利用函数的单调性;作差(三)例题分析:例1(1)若,则,从小到大依次为 ; (2)若,且,都是正数,则,从小到大依次为 ; (3)设,且(,),则与
7、的大小关系是 ( ) () () () ()解:(1)由得,故 (2)令,则, ,; 同理可得:,(3)取,知选()例2已知函数,求证:(1)函数在上为增函数;(2)方程没有负数根证明:(1)设,则,;,且,即,函数在上为增函数;(2)假设是方程的负数根,且,则, 即, 当时,而由知,式不成立; 当时,而,式不成立综上所述,方程没有负数根例3已知函数(且)求证:(1)函数的图象在轴的一侧; (2)函数图象上任意两点连线的斜率都大于证明:(1)由得:,当时,即函数的定义域为,此时函数的图象在轴的右侧;当时,即函数的定义域为,此时函数的图象在轴的左侧函数的图象在轴的一侧;(2)设、是函数图象上任意
8、两点,且,则直线的斜率,当时,由(1)知,又,;当时,由(1)知,又,函数图象上任意两点连线的斜率都大于同步练习(二)同步练习:1、 已知函数的定义域为,求函数的定义域。答案:2、 已知函数的定义域为,求的定义域。答案:3、 已知函数的定义域为,求的定义域。答案:4、设,则的定义域为( ) A. B. C. D. 解:选C.由得,的定义域为。故,解得。故的定义域为5、已知函数的定义域为,求的定义域。解析由已知,有(1)当时,定义域为;(2)当,即时,有,定义域为;(3)当,即时,有,定义域为.故当时,定义域为;当时,定义域为点评对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论
9、字母的方法。练习二(5)同步练习:1函数y(x23x2)的单调递减区间是()A(,1)B(2,)C(,)D(,)解析:先求函数定义域为(o,1)(2,),令t(x)x23x2,函数t(x)在(,1)上单调递减,在(2,)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y(x23x2)在(2,)上单调递减答案:B2找出下列函数的单调区间.(1);(2)答案:(1)在上是增函数,在上是减函数。(2)单调增区间是,减区间是。3、讨论的单调性。答案:时为增函数,时,为增函数。4求函数y(x25x4)的定义域、值域和单调区间解:由(x)x25x40,解得x4或x1,所以x(,1)(4,),当x(,1)(4,
10、),x25x4R,所以函数的值域是R因为函数y(x25x4)是由y(x)与(x)x25x4复合而成,函数y(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)x25x4在(,)上为减函数,在,上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y(x25x4)的增区间是定义域内使y(x)为减函数、(x)x25x4也为减函数的区间,即(,1);y(x25x4)的减区间是定义域内使y(x)为减函数、(x)x25x4为增函数的区间,即(4,)变式练习一、选择题1函数f(x)的定义域是()A(1,)B(2,)C(,2)D解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以解得1x2答案:D2函数y(x23
11、x2)的单调递减区间是()A(,1)B(2,)C(,)D(,)解析:先求函数定义域为(o,1)(2,),令t(x)x23x2,函数t(x)在(,1)上单调递减,在(2,)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y(x23x2)在(2,)上单调递减答案:B3若2(x2y)xy,则的值为()A4B1或C1或4D错解:由2(x2y)xy,得(x2y)2xy,解得x4y或xy,则有或1答案:选B正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x2y0,所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案:D4若定义在区间(1,0)内的函数f(x)(x1)满足f(x)0,则a的取值范围为()A(0,)B(0,1)C(,)
12、D(0,)解析:因为x(1,0),所以x1(0,1)当f(x)0时,根据图象只有02al,解得0a(根据本节思维过程中第四条提到的性质)答案:A5函数y(1)的图象关于()Ay轴对称Bx轴对称C原点对称D直线yx对称解析:y(1),所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案:C二、填空题已知y(2ax)在0,1上是x的减函数,则a的取值范围是_解析:a0且a1(x)2ax是减函数,要使y(2ax)是减函数,则a1,又2ax0a(0x1)a2,所以a(1,2)答案:a(1,2)7函数f(x)的图象与g(x)()x的图象关于直线yx对称,则f(2xx2)的单调递减区间为_解析:因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)x