《金融工程学》习题及参考答案-

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1、 1 金融工程学习题及参考答案金融工程学习题及参考答案 2 无套利定价和风险中性定价无套利定价和风险中性定价 练习练习 1、 假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是 1 美元换 1.8 马克，美元利率是 8%，马克利 率是 4%，试问一年后远期无套利的均衡利率是多少？ 2、 银行希望在 6 个月后对客户提供一笔 6 个月的远期贷款。银行发现金融市场上即期利 率水平是：6 个月利率为 9.5%，12 个月利率为 9.875%，按照无套利定价思想，银行为 这笔远期贷款索要的利率是多少？ 3、 假如英镑与美元的即期汇率是 1 英镑=1.6650 美元，远期汇率是 1 英镑=1.6600 美元，6 个月

2、期美远与英镑的无风险年利率分别是 6%和 8%，问是否存在无风险套利机会？如 存在，如何套利？ 4、 一只股票现在价格是 40 元，该股票一个月后价格将是 42 元或者 38 元。假如无风险利 率是 8%，用无风险套利原则说明，执行价格为 39 元的一个月期欧式看涨期权的价值 是多少？ 5、 条件同题 4，试用风险中性定价法计算题 4 中看涨期权的价值，并比较两种计算结果。 6、 一只股票现在的价格是 50 元，预计 6 个月后涨到 55 元或是下降到 45 元。运用无套利 定价原理，求执行价格为 50 元的欧式看跌期权的价值。 7、 一只股票现在价格是 100 元。有连续两个时间步，每个步长

3、 6 个月，每个单步二叉树 预期上涨 10%，或下跌 10%，无风险利率 8%（连续复利） ，运用无套利原则求执行价 格为 100 元的看涨期权的价值。 8、 假设市场上股票价格 S=20 元，执行价格 X=18 元，r=10%,T=1 年。如果市场报价欧式 看涨期权的价格是 3 元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？ 9、 股票当前的价格是 100 元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别 是 3 元和 7 元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为 100 的无风 险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票） 。试问无风险债券的 投资成本

4、是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？ 参考答案参考答案 1、 按照式子： （1+8%）美元=1.8（1+4%）马克，得到 1 美元=1.7333 马克。 2、 设远期利率为 i,根据（1+9.5%）（1+i）=1+9.875%, i=9.785%. 3、 存在套利机会，其步骤为： （1） 以 6%的利率借入 1655 万美元，期限 6 个月； （2） 按市场汇率将 1655 万美元换成 1000 万英镑； （3） 将 1000 万英镑以 8%的利率贷出，期限 6 个月； （4） 按 1.6600 美元/英镑的远期汇率卖出 1037.5 万英镑； （5） 6 个月后收到英镑贷款

5、本息 1040.8 万英镑（1000e0.080.5） ，剩余 3.3 万英镑； （6） 用 1037.5 万元英镑换回 1722.3 万美元（1037.51.66） ； （7） 用 1715.7 美元（1665 e0.060.5）归还贷款本息，剩余 6.6 万美元； （8） 套利盈余=6.6 万美元+3.3 万英镑。 4、 考虑这样的证券组合： 购买一个看涨期权并卖出股股票。 如果股票价格上涨到 42 元， 组合价值是 42-3；如果股票价格下降到 38 元，组合价值是 38。若两者相等，则 42-3=38， =075。 可以算出一个月后无论股票价格是多少， 组合 的价值都是 28.5， 今

6、天的价值一定是 28.5 的现值，即 28.31=28.5 e-0.080.08333。即-f+40=28.31，f 是看 涨期权价格。f=1.69。 3 5、 按照风险中性的原则，我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率 p,它满 足等式： 42p+38(1-p)=40 e0.080.08333,p=0.5669,期权 的价值是： （30.5669+00.4331） e-0.080.08333=1.69,同题 4 按照无套利定价原则计算的结果相同。 6、考虑这样的组合：卖出一个看跌期权并购买股股票。如果股票价格是 55 元，组合的 价值是 55；如果股票的价格是 45 元，组合的价值

7、是 45-5。若两者相等，则 45-5=55 。=-05。一个月后无论股票价格如何变化，组合的价值都是-27.5，今天的价值则一定 是-27.5 的现值，即-27.5 e-0.1 0.5=-26.16。这意味着-p+50=-26.16,p=1.16。p 是看跌期 权的价值。 7、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以 p=( e0.08 0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里 p 是风 险中性概率。期权的价值是： (0. 7041221+20.70410.29590+0.295920) e-0.08=9.61。 8、本题中看涨期权的价值应该是 S-Xe-r

8、T=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数， 会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是 20-3=17。17 以 10%投 资一年，成为 17 e0.1=18.79。到期后如果股票价格高于 18，套利者以 18 元的价格执行期 权，并将股票的空头平仓，则可获利 18.79-18=0.79 元。若股票价格低于 18 元（比如 17 元） ，套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是 18.79-17=1.79 元。 9、无风险证券的投资成本因该是 100-7+3=96 元，否则，市场就会出现以下套利活动。 第一， 若投资成本低于 96 元 （比如是 93 元

9、） ， 则合成股票的成本只有 97 元 （7-3+93） ， 相对于股票投资少了 3 元。套利者以 97 元买入合成股票，以 100 元卖空标的股票，获得无 风险收益 3 元。 第二，若投资成本高于 96 元（比如是 98 元） ，则合成股票的成本是 102 元，高于股 票投资成本 2 元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来 2 元的无风险利润。 4 无套利分析：远期和期货无套利分析：远期和期货 练习 1. 某交易商拥有 1 亿日元远期空头，远期汇率为 0.008 美元/日元。如果合约到期 时汇率分别为 0.0074 美元/日元和 0.0090 美元/日元，那么该交易商的盈亏如 何？

10、 2. 目前黄金价格为 500 美元/盎司，1 年远期价格为 700 美元/盎司。市场借贷年利 率为 10%，假设黄金的储藏成本为 0，请问有无套利机会？ 3. 一交易商买入两份橙汁期货，每份含 15000 磅，目前的期货价格为每磅 1.60 元， 初始保证金为每份 6000 元，维持保证金为每份 4500 元。请问在什么情况下该交 易商将收到追缴保证金通知？在什么情况下，他可以从保证金账户中提走 2000 元？ 4. 一个航空公司的高级主管说： “我们没有理由使用石油期货，因为将来油价上升 和下降的机会是均等的。 ”请对此说法加以评论。 5. 每季度计一次复利的年利率为 14%，请计算与之等

11、价的每年计一次复利的年利率 和连续复利年利率。 6. 每月计一次复利的年利率为 15%，请计算与之等价的连续复利年利率。 7. 某笔存款的连续复利年利率为 12%，但实际上利息是每季度支付一次。请问 1 万 元存款每季度能得到多少利息？ 8. 假设连续复利的零息票利率如下： 期限（年） 年利率（%） 1 期限（年） 年利率（%） 1 12.0 2 2 13.0 3 3 13.7 4 4 14.2 5 5 14.5 请计算第 2、3、4、5 年的连续复利远期利率。 9. 假设连续复利的零息票利率分别为： 期限（月） 年利率 3 期限（月） 年利率 3 80 6 6 82 9 9 84 12 12

12、 85 15 15 86 18 18 87 请计算第 2、3、4、5、6 季度的连续复利远期利率。 10 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元， 无风险连续复利年利率为 10%， 求该股票 3 个月期远期价格。 11假设恒生指数目前为 10000 点，香港无风险连续复利年利率为 10%，恒生指数 股息收益率为每年 3%，求该指数 4 个月期的期货价格。 12某股票预计在 2 个月和 5 个月后每股分别派发 1 元股息，该股票目前市价等于 5 30，所有期限的无风险连续复利年利率均为 6%，某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期 合约空头，请问：?该远期价格等于多少？若交割价格等于远期

13、价格，则远期合约的初始 值等于多少？?3 个月后，该股票价格涨到 35 元，无风险利率仍为 6%，此时远期价格和 该合约空头价值等于多少？ 13假设目前白银价格为每盎司 80 元，储存成本为每盎司每年 2 元，每 3 个月初预 付一次，所有期限的无风险连续复利率均为 5%，求 9 个月后交割的白银期货的价格。 14. 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期， 这样它就希望与银行签订一种在 一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现 金流。如果把你自己放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价? 15有些学者认为，远期汇率是对未来汇率的无偏预

14、测。请问在什么情况下这种观 点是正确的？ 16一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率 11%（一年计一次复利） 贷出现金，一是按年利率 2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需 用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为 9.25%。储存成本为每年 0.5%（连续 复利） 。请问哪种贷款利率较低？ 17瑞士和美国两个月连续复利率分别为 2%和 7%，瑞士法郎的现货汇率为 0.6500 美元，2 个月期的瑞士法郎期货价格为 0.6600 美元，请问有无套利机会？ 18一个存款账户按连续复利年利率计算为 12%，但实际上是每个季度支付利息的， 请问 10 万元存款每个

15、季度能得到多少利息？ 19股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。 参考答案 1 若合约到期时汇率为 0.0075 美元/日元，则他赢利 1 亿（0.008-0.0075）=5 万美元。 若合约到期时汇率为 0.0090 美元/日元，则他赢利 1 亿（0.008-0.009）=-10 万美元。 2 套利者可以借钱买入 100 盎司黄金，并卖空 1 年期的 100 盎司黄金期货，并等 到 1 年后交割，再将得到的钱用于还本付息，这样就可获得无风险利润。 3 如果每份合约损失超过 1500 元他就会收到追缴保证金通知。此时期货价格低 于 1.50 元/磅。当每份合约的价值上升超

16、过 1000 元，即期货价格超过 1.667 元/ 磅时，他就可以从其保证金账户提取 2000 元了。 4 他的说法是不对的。因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一，通 过购买石油期货，航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险。 5 每年计一次复利的年利率= （1+0.14/4）4-1=14.75% 连续复利年利率= 4ln(1+0.14/4)=13.76%。 6 连续复利年利率= 12ln(1+0.15/12)=14.91%。 7 与 12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率= 4（e0.03-1）=12.18%。 因此每个季度可得的利息=1000012.8%/4=304.55 元。 6 8 第 2、3、4、5 年的连续复利远期利率分别为： 第 2 年：14.0% 第 3 年：15.1% 第 4 年：15.7% 第 5 年：15.7% 9 第 2、3、4、5、6