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1、第九章平面解析几何 9.1直线方程与圆的方程 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.直线的倾斜角、斜率 与方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 3.掌握确定两直线位置的几何要素以及 求直线方程的几种形式 4.了解斜截式与一次函数的关系 2017 课标全国,20; 2016 四川,10; 2014 福建,6; 2013 广东,7 来源:学 2016 北京,5; 2016 浙江,10 选择题、来源: 学科网来源:学#科#网 Z#X#X#K 填空题 分析解读 从近几年的高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关
2、系、斜率公式以及直线方程 的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同 时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析 法的基本思想和方法是历年高考考查的重点. 五年高考 考点一直线的倾斜角、斜率与方程 1.(2014 福建,6,5 分)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是() A.x+y-2=0B.x-y+2=0 C.x+y-3=0D.x-y+3=0 答案D 2.(2013 广东,7,5 分
3、)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第象限的直线方程是( ) A.x+y-=0B.x+y+1=0 C.x+y-1=0D.x+y+=0 22 答案A 教师用书专用(3) 3.(2016 四川,10,5 分)设直线 l1,l2分别是函数 f(x)=图象上点 P1,P2处的切线,l1与 l2垂直相交于 - ln,0 1 点 P,且 l1,l2分别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是() A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+) 答案A 考点二圆的方程 1.(2016 北京,5,5 分)圆(x+1)2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的
4、距离为() A.1B.2C.D.2 22 答案C 2.(2015 北京,2,5 分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是() A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案D 3.(2016 浙江,10,6 分)已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是,半径是. 答案(-2,-4);5 4.(2015 湖北,16,5 分)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2. (1
5、)圆 C 的标准方程为; (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为. 答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)-1 22 5.(2014 山东,14,5 分)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2,则圆 C 的标准方程 3 为. 答案(x-2)2+(y-1)2=4 6.(2013 课标全国,20,12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2,在 y 轴上截得线段长为 2. 23 (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为,求圆 P 的方程. 2 2 解析(
6、1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由 题设得 y2+2=r2,x2+3=r2.从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0),由已知得=. |0- 0| 2 2 2 又 P 在双曲线 y2-x2=1 上,从而得 |0- 0| = 1, 2 0- 20= 1. 由得此时,圆 P 的半径 r=. 0- 0= 1, 2 0- 20= 1 0= 0, 0= - 1. 3 由得此时,圆 P 的半径 r=. 0- 0= - 1, 2 0- 20= 1 0= 0, 0= 1. 3 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2
7、=3. 教师用书专用(79) 7.(2014 湖北,17,5 分)已知圆 O:x2+y2=1 和点 A(-2,0),若定点 B(b,0)(b-2)和常数 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有 |MB|=|MA|,则 (1)b=; (2)=. 答案(1)- (2) 1 2 1 2 8.(2013 江西,14,5 分)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是. 答案(x-2)2+=( + 3 2) 2 25 4 9.(2015 广东,20,14 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1的圆
8、心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解析(1)由已知得,圆 C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆 C1的圆心坐标为(3,0). (2)由题意可知,直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),线段 AB 的中点 M(x0,y0) ,( 其中 0= 1+ 2 2 ,0= 1+ 2 2 ) 将 y=tx 代入圆 C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0. 则有 x1
9、+x2=, 6 1 + 2 所以 x0=,代入直线 l 的方程,得 y0=. 3 1 + 2 3 1 + 2 因为+=+=3x0, 2 020 9 (1 + 2)2 92 (1 + 2)2 9(1 + 2) (1 + 2)2 9 1 + 2 所以+= .(0- 3 2) 2 2 0 9 4 又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0 有两个不相等的实根, 所以 =36-20(1+t2)0,解得 t2 ,所以 x03. 4 5 5 3 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为+y2=.( - 3 2) 2 9 4( 5 3 x 3) (3)由(2)知,曲线 C:+y2=.( - 3 2)
10、2 9 4( 5 3 x 3) 如图,D,E,F(3,0),直线 L 过定点 G(4,0).( 5 3, 25 3) ( 5 3, - 25 3) 由得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. ( - 3 2) 2 + 2= 9 4, = ( - 4) 当直线 L 与曲线 C 相切时,判别式 =0,解得 k= .结合图形可以判断,当直线 L 与曲线 C 只有一个交点时,有 kDGkkEG或 3 4 k=kGH或 k=kGI,即 k.- 25 7 , 25 7 - 3 4, 3 4 三年模拟 A 组20162018 年模拟基础题组 考点一直线的倾斜角、斜率与方程 1.(2018 重庆一
11、中期中,5)过点(1,1),且在 y 轴上的截距为 3 的直线方程是() A.x+2y-3=0B.2x-y-1=0 C.x-2y-1=0D.2x+y-3=0 答案D 2.(2018 豫北六校联考,5)直线 x+(a2+1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是() A. B.0, 4 3 4 ,) C.D.0, 4 2,) 4, 2) 3 4,) 答案B 3.(2018 辽宁沈阳二中期中,7)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S5=55,则过点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的 斜率为() A.4B.3C.2D.1 答案A 4.(2017 河北衡水中学
12、周测(十九),7)已知直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2过点(1,0),且直线 l2的倾斜角是 l1的倾斜角的 2 倍,则直线 l2的方程为() A.y=6x+1B.y=6(x-1) C.y=D.y=- (x-1) 3 4( - 1) 3 4 答案D 5.(2016 四川南充模拟,4)过点 P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程为() A.x-y+1=0B.x-y+1=0 或 3x-2y=0 C.x+y-5=0D.x+y-5=0 或 3x-2y=0 答案B 考点二圆的方程 6.(2018 吉林长春调研,3)已知圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标为(a,b
13、),则 a2+b2=() A.8B.16C.12D.13 答案D 7.(2017 河北唐山二模,5)圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在 x 轴的正半轴上,则圆 E 的标准方程为() A.+y2=B.+y2=( - 3 2) 2 25 4 ( + 3 4) 2 25 16 C.+y2=D.+y2=( - 3 4) 2 25 16 ( - 3 4) 2 25 4 答案C 8.(2017 河南洛阳期中,6)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为() A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1
14、)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案B 9.(2016 河南许昌三模,6)经过原点并且与直线 x+y-2=0 相切于点(2,0)的圆的标准方程是() A.(x-1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=4 D.(x+1)2+(y-1)2=4 答案A 10.(2018 豫西南五校联考,14)已知圆 C 的圆心在直线 x+y=0 上,圆 C 与直线 x-y=0 相切,且被直线 x-y-3=0 截得的弦长为,则圆 6 C 的方程为. 答案(x-1)2+(y+1)2=2 11.(2018
15、 湘东五校模拟,15)圆心在抛物线 y= x2(x0,x1+x2=m,x1x2=2m. 令 x=0,得 y=2m,即 C(0,2m). (1)若存在以 AB 为直径的圆过点 C,则=0,得 x1x2+4m2=0,即 2m+4m2=0,所以 m=0 或 m=- . 1 2 由 0 得 m8,所以 m=- , 1 2 此时 C(0,-1),AB 的中点 M即圆心,半径 r=|CM|=,(- 1 4,0) 17 4 故所求圆的方程为 +y2=.( + 1 4) 2 17 16 (2)证明:设过 A,B 两点的圆的方程为 x2+y2-mx+Ey+2m=0, 将(0,2m)代入可得 E=-1-2m, 所
16、以过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0, 整理得 x2+y2-y-m(x+2y-2)=0. 令可得或 2+ 2- y = 0, + 2 - 2 = 0, = 0, = 1 = 2 5, = 4 5, 故过 A,B,C 三点的圆过定点(0,1)和.( 2 5, 4 5) C组20162018 年模拟方法题组 方法 1求解直线的斜率及倾斜角范围的方法 1.(2017 中原名校联盟 12 月联考,6)设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 有交点,则实数 a 的取值范围是() A. B.(- , - 5 2) 4 3, + ) - 4 3, 5 2 C. D.- 5 2, 4 3 (- , - 4 3 5 2, + ) 答案D 2.(2016 河南信阳调研,6)若直线 l:y=kx-3 与直线 2x+
