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1、高等数学教案 曲线积分与曲面积分第十一章 曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。5.知道散度与旋度的概念，并会计算。6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5
2、.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。【教学课时分配】 (14学时)第1 次课 第2 次课
3、 2 第3 次课 3第4 次课 4 第5次课 5 第6次课 6第7次课 习题课 【参考书】1同济大学数学系.高等数学（下），第五版.高等教育出版社.2 同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育出版社.3 同济大学数学系.高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教育出版社11.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为m(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧长); 任取(xi ,
4、 hi)Dsi, 得第i小段质量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn0, 则整个物质曲线的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界.，将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长; 在每一弧段Dsi上任取一点(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn, 如果当l0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其
5、中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c
6、1、c2为常数, 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 ; 性质3设在L上f(x, y)g(x, y), 则 . 特别地, 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为x=j(t), y=y (t) (atb),则质量元素为 , 曲线的质量为 . 即 . 定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一阶连续导数, 且j2(t)+y2(t)0,
7、 则曲线积分存在, 且 (ab). 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(axb), 则=?提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲线L的方程为x=j(y)(cyd), 则=?提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 则=? 提示: . 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 (0x1), 因此 . 例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧
8、L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1). 解 取坐标系如图所示, 则. 曲线L的参数方程为 x=Rcosq, y=Rsinq (-aqa). 于是 =R3(a-sina cosa). 例3 计算曲线积分, 其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧. 解 在曲线G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分; (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围; (3)将曲线积分化为定积分; (4
9、)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.已知椭圆周长为a，求。2.设C是由极坐标系下曲线及所围成区域的边界，求讲课提纲、板书设计作业 P190: 3（1）（3）（5）（7）11. 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功: 设一个质点在xOy面内在变力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B, 试求变力F(x, y)所作的功. 用曲线L上的点A=A0, A1, A2, , An-1, An=B把L分成n个小弧段, 设Ak=(xk
10、, yk), 有向线段的长度为Dsk, 它与x轴的夹角为tk , 则 (k=0, 1, 2, , n-1). 显然, 变力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似为 ;于是, 变力F(x, y)所作的功 , 从而 . 这里t=t(x, y), cost, sint是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L分成n个小弧段: L1, L2, , Ln;变力在Li上所作的功近似为: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi ; 变力在L上所作的功近似为: ; 变力在L上所作的功的精确值: , 其中l是各小弧段长度的最大值. 提示: 用Dsi=
11、Dxi,Dyi表示从Li的起点到其终点的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 对坐标的曲线积分的定义: 定义 设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界. 把L分成n个有向小弧段L1, L2, , Ln; 小弧段Li的起点为(xi-1, yi-1), 终点为(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)为Li上任意一点, l为各小弧段长度的最大值. 如果极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即, 设L为xOy面上一条光滑有向曲线, cost, sint是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y)、Q(
12、x, y)在L上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义 , , 前者称为函数P(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分. 定义的推广: 设G为空间内一条光滑有向曲线, cosa, cosb, cosg是曲线在点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义. 我们定义(假如各式右端的积分存在) , , . , , .对坐标的曲线积分的简写形式: ; . 对坐标的曲线积分的性质: (1) 如果把L分成L1和L2, 则 . (2) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则 . 两类曲线积分之间的关系: 设costi, sinti为与Dsi同向的单位向量, 我们注意到Dxi, Dyi=Dsi, 所以Dxi=costiDs
