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1、专题八：几何证明题【问题解析】几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型【热点探究】类型一：关于三角形的综合证明题【例题1】（2016四川南充）已知ABN和ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE；（2）求证：M=N【分析】（1）由SAS证明ABDACE，得出对应边相等即可（2）证出BAN=CAM，由全等三角形的性质得出B=C，由AAS证明ACMABN，得出对应角相等即可【解答】
2、（1）证明：在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE；（2）证明：1=2，1+DAE=2+DAE，即BAN=CAM，由（1）得：ABDACE，B=C，在ACM和ABN中，ACMABN（ASA），M=N【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键【同步练】（2016山东省菏泽市3分）如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE（1）如图1，若CAB=CBA=CDE=CED=50求证：AD=BE；求AEB的度数（2）如图2，若ACB=DCE=120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN
3、类型二：关于四边形的综合证明题【例题2】（2016山东省滨州市10分）如图，BD是ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若ABC=30，C=45，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形只要证明BE=ED=DG=GB即可（2）作EMBC于M，DNBC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RTEMC中，求出EM、MC即可解决问题【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形理由：EG垂直平分BD，E
4、B=ED，GB=GD，EBD=EDB，EBD=DBC，EDF=GBF，在EFD和GFB中，EFDGFB，ED=BG，BE=ED=DG=GB，四边形EBGD是菱形（2）作EMBC于M，DNBC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RTEBM中，EMB=90，EBM=30，EB=ED=2，EM=BE=，DEBC，EMBC，DNBC，EMDN，EM=DN=，MN=DE=2，在RTDNC中，DNC=90，DCN=45，NDC=NCD=45，DN=NC=，MC=3，在RTEMC中，EMC=90，EM=MC=3，EC=10HG+HC=EH+HC=EC，HG+HC的最小值为10【点评】本题考查平
5、行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型【同步练】（2016山东省济宁市3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明类型三：关于圆的综合证明题【例题3】（2016山东潍坊）正方形ABCD内接于O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DFBE交O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交
6、于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出BED=BAD=90，BFD=BCD=90，EDF=90，进而得出答案；（2）直接利用正方形的性质的度数是90，进而得出BE=DF，则BE=DG【解答】证明：（1）正方形ABCD内接于O，BED=BAD=90，BFD=BCD=90，又DFBE，EDF+BED=180，EDF=90，四边形EBFD是矩形；（2）正方形ABCD内接于O，的度数是90，AFD=45，又GDF=90，DGF=DFC=45，DG=DF，又在矩形EBFD中，
7、BE=D【同步练】（枣庄市 2015 中考 -24）如图，在ABC中，ABC=90，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD2OE；（3）若cosBAD=，BE=6，求OE的长类型四：关于相似三角形的证明问题【例题4】（2016黑龙江齐齐哈尔8分）如图，在ABC中，ADBC，BEAC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F（1）求证：ACDBFD；（2）当tanABD=1，AC=3时，求BF的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）由C+DBF=90，C+DAC=90，推出DBF=D
8、AC，由此即可证明（2）先证明AD=BD，由ACDBFD，得=1，即可解决问题【解答】（1）证明：ADBC，BEAC，BDF=ADC=BEC=90，C+DBF=90，C+DAC=90，DBF=DAC，ACDBFD（2）tanABD=1，ADB=90=1，AD=BD，ACDBFD，=1，BF=AC=3【同步练】（2016湖北武汉10分）在ABC中，P为边AB上一点(1) 如图1，若ACPB，求证：AC2APAB；(2) 若M为CP的中点，AC2， 如图2，若PBMACP，AB3，求BP的长； 如图3，若ABC45，ABMP60，直接写出BP的长 【达标检测】1. （2016黑龙江哈尔滨8分）已知
9、：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长2. （2016四川内江）(9分)如图6所示，ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AFBD，连接BF(1)求证：D是BC的中点；(2)若ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论DCEFBA图63. （烟台市 2015 中考 -23）如图，以ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=（1）试判断ABC的形状
10、，并说明理由（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sinABD的值4. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线（1）求证：ADECBF；（2）若ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论5. （烟台市 2014 中考 -24）如图，AB是O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上设PCB=，POC=求证：tantan=6. （2015梧州,第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂
11、足为Q，过E作EHAB于H（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长7. （2015北海,第25题12分）如图，AB、CD为O的直径，弦AECD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使PED=C（1）求证：PE是O的切线；（2）求证：ED平分BEP；（3）若O的半径为5，CF=2EF，求PD的长【参考答案】类型一：关于三角形的综合证明题【同步练】（2016山东省菏泽市3分）如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE（1）如图1，若CAB=CBA=CDE=CED=50求证：AD=BE；求AEB的度数（
12、2）如图2，若ACB=DCE=120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN【考点】等腰三角形的性质【分析】（1）通过角的计算找出ACD=BCE，再结合ACB和DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出ACDBCE，由此即可得出结论AD=BE；结合中的ACDBCE可得出ADC=BEC，再通过角的计算即可算出AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论【解答】（1）证明：CAB=CBA=C
13、DE=CED=50，ACB=DCE=180250=80ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+BCE，ACD=BCEACB和DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC在ACD和BCE中，有，ACDBCE（SAS），AD=BE解：ACDBCE，ADC=BEC点A，D，E在同一直线上，且CDE=50，ADC=180CDE=130，BEC=130BEC=CED+AEB，且CED=50，AEB=BECCED=13050=80（2）证明：ACB和DCE均为等腰三角形，且ACB=DCE=120，CDM=CEM=（180120）=30CMDE，CMD=90，DM=EM在RtCMD中，CMD=90，CDM=30，DE=2DM=2=2CMBEC=ADC=18030
