《衡水中学2020届高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)-（学科教研组编写）-（最新版-已修订）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《衡水中学2020届高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)-（学科教研组编写）-（最新版-已修订）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、衡水中学 2020 届高考数学二轮复习 专题 10 数列() 1在等差数列an中，公差 d ，前 100 项的和 S10045，则 a1a3a5a99 1 2 _. 解析：S100(a1a100)45，a1a100， 100 2 9 10 a1a99a1a100d . 2 5 a1a3a5a99(a1a99) 10. 50 2 50 2 2 5 答案：10 2已知数列an对任意的 p，qN*满足 apqapaq，且 a26，那么 a10_. 解析：由已知得 a4a2a212，a8a4a424，a10a8a230. 答案：30 3设数列an的前 n 项和为 Sn，令 Tn，称 Tn为数列 a1，
2、a2，an S1S2Sn n 的 “理想数” ， 已知数列 a1， a2， a500的 “理想数” 为 2 004， 那么数列 12， a1， a2， a500 的“理想数”为_ 解析：根据理想数的意义有， 2 004， 500a1499a2498a3a500 500 501 12500a 1499a2498a3a500 501 2 012. 501 122 004 500 501 答案：2 012 4 函数yx2(x0)的图象在点(ak， a )处的切线与x轴交点的横坐标为ak1， k为正整数， a1 2 k 16，则 a1a3a5_. 解析 ： 函数 yx2(x0)在点(16,256)处的
3、切线方程为 y25632(x16) 令 y0 得 a28 ； 同理函数 yx2(x0)在点(8,64)处的切线方程为 y6416(x8)，令 y0 得 a34；依次同 理求得 a42，a51.所以 a1a3a521. 答案：21 5将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_ 解析：前 n1 行共有正整数 12(n1)个，即个，因此第 n 行第 3 个数是 n2n 2 全体正整数中第3 个，即为. n2n 2 n2n6 2 答案：n 2n6 2 典例1 (1)已知正数数列an对任意 p，qN*，都有 apqapaq，若 a24，则 an_.
4、 (2)数列an为正项等比数列，若 a21，且 anan16an1(nN，n2)，则此数列的 前 n 项和 Sn_. 解析(1)由 apqapaq， a24， 可得 a2a 4a12， 所以 ap1apa1， 即a1 2 1 ap1 ap 2，即数列an为等比数列，所以 ana1qn122n12n. (2)设等比数列的公比为 q， 由 anan16an1知， 当 n2 时， a2a36a1.再由 a21， 得 1q ，化简得 q2q60，解得 q3 或 q2.q0， 6 q q2，a1 ，Sn2n1 . 1 2 1 212 n 12 1 2 答案(1)2n(2)2n11 2 这两题分别是由“a
5、pqapaq”和“anan16an1”推出其他条件来确定基本量，不 过第(1)小题中首先要确定该数列的特征，而第(2)小题已经明确是等比数列，代入公式列方 程求解即可 演练1 已知an是等差数列，a1010，前 10 项和 S1070，则其公差 d_. 解析 ： 法一 ： 因为 S1070，所以70，即 a1a1014.又 a1010，所以 a14， 10a1a10 2 故 9d1046，所以 d . 2 3 法二：由题意得Error!Error!解得Error!Error! 答案：2 3 典例2 已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2an(1)n，n1. (1)写出数列an的前三项 a
6、1，a2，a3； (2)求证数列为等比数列，并求出an的通项公式 a n2 3 1n 解(1)在 Sn2an(1)n，n1 中分别令 n1,2,3 得 Error!Error!解得Error!Error! (2)由 Sn2an(1)n，n1，得 Sn12an1(1)n1，n2. 两式相减得 an2an(1)n2an1(1)n1，n2. 即 an2an12(1)n，n2. an2an1 (1)n (1)n2an1 (1)n1 (1)n， 4 3 2 3 4 3 2 3 an (1)n2(an1 (1)n1)(n2)， 2 3 2 3 故数列是以 a1 为首项，2 为公比的等比数列 a n2 3
7、1n 2 3 1 3 所以 an (1)n 2n1， 2 3 1 3 即 an 2n1 (1)n. 1 3 2 3 1求数列通项公式的方法：(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：叠加法； 叠乘法；转化法；(3)已知前 n 项和公式用 anError!Error!求解 2数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5) 倒序相加法 演练2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Snpan2n，nN*，其中常数 p2. (1)证明：数列an1为等比数列； (2)若 a23，求数列an的通项公式； (3)对于(2)中数列an， 若数列bn满足
8、 bnlog2(an1)(nN*)， 在 bk与 bk1之间插入 2k 1(kN*)个 2，得到一个新的数列cn，试问：是否存在正整数 m，使得数列cn的前 m 项的 和 Tm2 011？如果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由 解：(1)证明：因为 2Snpan2n， 所以 2Sn1pan12(n1)， 所以 2an1pan1pan2， 所以 an1an，所以 an11(an1) p p2 2 p2 p p2 因为 2a1pa12，且 p2，所以 a10. 2 p2 所以 a110. p p2 所以0. an11 an1 p p2 所以数列an1为等比数列 (2)由(1)知 an1 n
9、， ( p p2) 所以 an n1. ( p p2) 又因为 a23，所以 213. ( p p2) 所以 p4，an2n1. (3)由(2)得 bnlog22nn(nN*)，数列cn中，bk(含 bk项)前的所有项的和是(123 k)(2021222k2)22k2， kk1 2 当 k10 时，其和是 5521021 0772 011， 又因为 2 0111 0779344672，是 2 的倍数， 所以当 m10(122228)467988 时， Tm2 011，所以存在 m988 使得 Tm2 011. 典例3 将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 已知表中的第
10、一列数 a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且 b24，b510. 表中每一行正中间一个数 a1，a3，a7，构成数列cn，其前 n 项和为 Sn. (1)求数列bn的通项公式； (2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为 同一个正数，且 a131. 求 Sn； 记 Mn|(n1)cn，nN*，若集合 M 的元素个数为 3，求实数 的取值范围 解(1)设数列bn的公差为 d， 则Error!Error!解得Error!Error!所以 bn2n. (2)设每一行组成的等比数列的公比为 q. 由于前 n 行共有 135(2n1)n2个数，且 3213
11、42， 所以 a10b48. 所以 a13a10q38q3.又 a131，解得 q . 1 2 因此 cn2n n1 . ( 1 2) n 2n2 所以 Snc1c2cn1cn， Sn 1 21 2 20 n1 2n3 n 2n2 1 2 1 20 2 21 n1 2n2 . n 2n1 因此 Sn44， 1 2 1 21 1 20 1 21 1 2n2 n 2n1 1 2n2 n 2n1 n2 2n1 解得 Sn8. n2 2n2 由知 cn，不等式(n1)cn，可化为. n 2n2 nn1 2n2 设 f(n)， nn1 2n2 计算得 f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5)
12、， 15 4 因为 f(n1)f(n)， n12n 2n1 所以当 n3 时，f(n1)f(n) 因为集合 M 的元素的个数为 3， 所以 的取值范围是(4,5 本题第二小问中的参数取值范围问题， 运用了函数的思想方法， 进行参数分离转化为 ， 再构造函数求出的取值范围， 从而得到参数 的取值范围， 这里要注意 n nn1 2n2 nn1 2n2 只能取正整数 演练3 下 面 的 数 组 均 由 三 个 数 组 成 ， 它 们 是 ： (1,2,3)， (2,4,6)， (3,8,11)， (4,16,20)， (5,32,37)，(an，bn，cn) (1)请写出 cn的一个表达式，cn_；
13、 (2)若数列cn的前 n 项和为 Mn，则 M10_.(用数字作答) 解析：由 1,2,3,4,5，猜想 ann； 由 2,4,8,16,32，猜想 bn2n； 由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想 cnn2n.从而 M10(1210)(2 22210)2 101. 10 101 2 2210 1 21 答案：(1)n2n(2)2 101 专题技法归纳 1数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现 复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基 本量来求解 2数列求和问题，主要考查利用公式法求数列的前 n 项和，再论证和的性质
14、，故不过 多涉及求和的技巧以及项的变形 3数列中 an或 Sn的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列 an或 Sn的特征，再 进一步判断数列的单调性，从而得到最值要注意的细节是 n 只能取正整数 4数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商 或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决 5数列中的参数取值范围问题在处理时，首选还是参数分离，分离后根据新数列的单 调性确定最值或范围 1已知等差数列an中，a7a916，a41，则 a12的值为_ 解析：由 a7a916，得 a88， 由 a4a122a8，得 a1215. 答案：15 2已知数列an满足 a
15、10，an1(nN*)，则 a20_. an3 3a n1 解析：由 a10，an1(nN*)，得 a2，a3，a40，由此可 an3 3a n1 33 知：数列an是周期变化的，且循环周期为 3，所以可得 a20a2 . 3 答案：3 3已知 a，b，ab 成等差数列，a，b，ab 成等比数列，且 0logm(ab)1，则 m 的取 值范围是_ 解析：由题意得Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error! 由 0logm88. 答案：(8，) 4等差数列an共有 2n1 项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则 n _. 解析：由， 1 2 a
16、1a2n1n1 1 2 a 2a2n n n1 n 319 290 得 n10. 答案：10 5设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则 q 的 值为_ 解析：由题意可知 q1，可得 2(1qn)(1qn1)(1qn2)，即 q2q20，解 得 q2 或 q1(不合题意，舍去)，q2. 答案：2 6所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍)： 第一行1 第二行35 第三行791113 则第 6 行中的第 3 个数是_ 解析：由 124816334 得第六行第三个数为第 34 个正奇数，所以这个数是 234167. 答案：67 7设 1a1a2a7，其中 a1，a3，a5，a7成公比为 q 的等比数列，a2，a4，a6成 公差为 1
