第04章 理想流体动力学课件

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1、1,第4章,1.先建立理想流体动力学的基本方程欧拉运动微分方程,2.在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分,3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分。,4.两个积分的物理意义和实际应用,5.导出动量及动量矩定理，及其应用。,第四章 理想流体动力学,本章内容：,课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？ 为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？,2,4-1 欧拉运动微分方程式,欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本 方程，欧拉于1775年由牛顿第二定律导出。,某瞬间在理想流 体中棱边为dx,dy,dz 的平行六面体，顶点 A(x,y,z)处的,推导如下：,3,由牛顿

2、第二定律： ii (=x，y，z） （4-1）,以方向为例：,表面力沿向的合力：,理想流体，各面上无切应力,加速度在方向的投影：,dvx,4,将以上各式代入（4-1）式中，并取， 得如下第一式。同理可得其余的两式：,（4-2）,用矢量表示为：,Z,5,该方程适用条件:,理想流体,即无论流动定常与否，可压缩还是 不可压缩均适用。,方程（4-2）有三个分量式，再加上连续方 程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可 求解四个未知函数x ,y ,z和。,若要使所求的x ,y ,z ,是某个实 际问题的解，还要满足所提问题的边界条件， 初始条件。,6,4-2 拉格朗日积分式,欧拉方程是非线性的，很难求得

3、普遍条件下 的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解。,拉格朗日积分式有如下假设条件：,（1）理想不可压缩流体： const.,（3）若运动无旋则存在速度势函数，满足,所以有：,（2）质量力具有势函数：,7,因此,代入欧拉方程,有,8,上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式,（4-3）,括弧内函数不随空间坐标(，)变化, 只可能是时间的函数。,所以,（4 - 4）,若流体的质量力只有重力，取轴铅直向上， 有U，故,gz,（4 - 4）,9,为书写简单，引入,将对，求偏导数，仍为速度的投影,引入后，式（-）可改写成：,（-5）,10,若流体的质量力只有重力，式（4 - 4）可写成：,(4-7)

4、,或,上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。 对于定常无旋运动，式（43）括弧内的函数不随空间坐标，和时间t变化，因此它在整个流场为常数。,11,(通用常数),对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无旋运动，因，上式可写成,(通用常数),上式为上述条件下的拉格朗日积分式，在 整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场 建立了速度和压力之间的关系。,(4-9),12,若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。,应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物 理现象：如机翼产生升力的原因；

5、两艘并排行 驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引 的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为 什么会产生“吸底现象”等等。,13,讨论：begin,1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流 动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？,2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。,3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”,14,4-3 伯努利积分式及其应用,伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分,假设条件：,（）理想不可压缩，质量力有势；,（）定常运动；,（）沿流线积分。,由（1），（2）有,15,则欧拉方程可写成,定常运动流

6、线与轨迹重合，在轨迹上下式成立,（4）,16,式(1),(2),(3)的两边分别乘以式(4),(5),(6),以第一式为:,17,将(),(),(）三式相加，考虑到速度的模2x2y2z2，有:,括弧内沿流线上的全微分等于零，则沿流线一定是常数:,（11）,18,在重力场中，则沿流线:,或为,（12）,拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同之点有二：,l 称为流线常数,19,() 应用条件不同。拉格朗日积分只能用于无 旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。,（）常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积 分常数l 只在同一条流线上不变，不

7、同流线取 值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。,20,为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束。,渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。,渐变流动特点： 项在整个过水（过流） 断面上为常数。,为简单计，约定 取过水断面形心处的 数值。流线上任意一点的速度近似地用过 流断面上的平均流速U来代替即用 近似代替,21,适用于有限大流束的伯努利方成为：,（13）,（）理想流体，定常流动； （）只有重力的作用； （）流体是不可压缩的； （4）.截面处流动须是渐变流。但1.2两断面间不必要求为渐变流动。,方程适用条件：

8、,22,讨论：end,1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？,2.为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/) 项不保持常数？,23,4-4 伯努利方程的意义,一、几何意义,z ：长度量纲，流体质点或空间点在基准面 以上的几何高度，又称位置水头。 单位重量流体具有的势能。,p/ ：长度量纲，测压管中液面上升的高度， 称为压力高度、或测管高度，或称压 力水头、测管水头，记为Hp 单位重量流体具有的势能。,V2/(2g)：具有长度的量纲，称为流速高度或 速度水头。可用皮托管和测压管中液 面高度差来表示，记为HV 单位重量流体具有的动能。,24,一、几何

9、意义图,25,结论：对于理想流体，定常运动，质量力只 有重力作用时，沿流线有：几何高度、压 力高度和流速高度之和为一常数。,Z+Hp+Hv=H,三个高度（水头）之和称为总水头。,其端点的连线总水头线为一条水平线 。如 下图所示。,26,27,二、能量意义(物理意义),伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿 流线守恒。,：代表单位重量流体的位能，记为,：单位重量流体的压力能，记为,：单位重量流体的动能，记为,单位重量流体的总机械能：,28,伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 对于体积为V的均匀流体，有,

10、Z为体积为V的形心Z坐标,29,对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有 重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流 线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中 单位重量的/单位体积的位能、压力能和动能之和保持不变。,在流体力学中,称为静压,称为动压,30,伯努利方程的应用,实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞）,图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。,设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度近似 认为不变（近似为定常流），,不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。,31,取小孔轴线为基准，整个容器看成一个

11、大流管,取容器液面为截面 ，出流流束截面收缩 到最小处为截面，该 处流动满足渐变流的条 件。在此两截面上，各 物理量分别为：,截面：1 10 1,截面：2 20 2,32,截面列伯氏方程：,这样就可解出小孔理想出流的速度公式：,（15）,实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度 小于此值，一般用一个流速系数来修正，则,实际 （16）,由实验确定， = 0.96,流量Q = 平均流速c,33,收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处 汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水 平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。,令 为流量系数,称为收缩系数,由实验测定，如圆形孔口，值为0.610.63。,3

12、4,实例二文德利管,实例二 文德利管（一种流量计）,应用伯努利方程的原 理可制成各种测量流速或 流量的仪器。文德利管就 是其中的一种。,和处的压力差由测压管读出来，为已知量。,令1和2分别为和截面上的平均流速,35,取管轴为基准列伯努利方程:,连续性方程:,联立得：,解出,流量,36,形管（内装水银）：,或,注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时 按上式算得的还应乘上修正流量的系数，它 的值约为0.98。,因此,37,实例三汽化器,实例三 汽化器,汽化器原理如图,空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入,细管将汽油自油箱引来。,求:汽化器的真空度,解：取主管轴为基准，整 个汽化器作一个流管.,

13、取入口远前方为截面 最小截面处为截面,38,截面：，0，,截面：，待求，,列立伯氏方程：,汽化器的真空度为：,由连续性方程得:,39,实例四皮托管,流线上，管（测压管）的口部 平行于流线，可测点的静压， 90弯管 迎向水流，使其口部垂直于流线。,设流线近似为一组平行直 线，则铅直方向上动水压力 按静水压力分布，即 A,点: B（）,40,管测得压力称静压力A,管测的压力称总压B ，又称总压管皮托管。,在流线上列立伯氏方程，考虑到 点 A UAU B点 B UB,因此,测出总压B和静压A之差，可算出流速。,41,在上述问题中,BA（）,因此 （425）,读出皮托管与测压管的液 面高度差h，可算出

14、流速。,42,实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”，或称普朗特管,这时 UAU， UB,处感受到静压 处感受到总压,公式（-）仍能用。,43,若测量空气或其它液体的流速， 用形管连接管、，仍用公式（-）即：,BA ：总压与静压之差,PBA1 形管中液面高度差。,PBAU 2/2,44,实例五 虹吸管,求虹吸管出口流速和最高点S处的压力,列0-1两截面的伯努利方程,v1,45,列0-S两截面的伯努利方程,46,虹吸管,=150，1=3.32=1.5，z=6.8， 不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道 最高点处的真空值。,解：取-为 基准，列断面- 和-的伯氏方程：,例题

15、,47,解得：,水流量,-和- 断面列方程：,处真空度,48,4-5 动量定理及动量矩定理,一、动量定理,工程中常常需要求流体和物体之间的相互作 用力的合力或合力矩。这时应用动量定理较为合 适与方便。,理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对 质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在 该质系上的合外力，即,49,为应用方便，需将动量定理转换成适合于控 制体的形式（欧拉法）。,控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、大小任意，固定不动的空间。,控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）。 流体经过控制面流入、流出。通过 控制面一般有流体质量、动量、能量交 换，控制体内与控制体外的流体或固体 存在作

16、用力与反作用力。,50,适合于控制体形式动量方程推导如下：,对于定常流动，同一位置的所有参数不随时间改变，质量为常数。,取控制体积V，其质量为,51,为了计算方便，控制面通常这样来选取：,（）边界面或流面。这些面上没有动量进出， 因而动量的通量等于零；,（）速度及压力分布已知的面,52,二、动量矩定理,理想流体作定常运动时的动量矩定理：,即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力 对同一点或轴的力矩之和：,53,实例六,实例六 流体对弯管管壁的压力,水平放置的一段弯管。 平均流速 流入， 流出。,设流体对管壁的作用力为 ,管壁对流体的作用为,图413,取管壁和截面1、2组成的封闭面为控制面 对此控制面内流体应用动量定理,54,因此：,即,如重力比其他各项小许多，则 略而不计。,55,实例七,实例七 射流对倾斜平板的冲击力,图4-14俯视,厚为o的二元流束以向平板AB冲击，流速与平板的夹角为，求流体对平板的作用力。,沿平板切向和法向取坐标。整个射流暴露大气中，故流体中压力处