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1、“华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 1 页 整除整除 整除（一） 基础知识：基础知识： 1.整除的定义、性质. 定义 ： 如果a、 b、 c是整数并且， ab=c。 则称a能被b整除或者b能整除a， 记做 ， 否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做. 性质 1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除. 性质 2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a. 性质 3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a. 性质 4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a. 性质 5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a
2、整除. 2.被 2（5）整除特征：以 2，4，6，8，0（5，0）结尾. 3.被 3，9 整除特征：数字和被 3，9 整除. 4.被 4（25）整除的特征：后 2 位能被 4（25）整除； 被 8（125）整除的特征：后 3 位能被 8（125）整除. 5.被 11 整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被 11 整除. （“奇偶位差法”）. 6.被 7、11、13 整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被 7、11、13 整除. 7.整除性质、特征的综合应用，末尾 0 的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题. 例题：例题： 例 1、如果六位数能够被 105 整除，那么后两位数是多少？
3、 答疑编号 5721130101 【答案】85 【解答】设六位数为，105=357，依次考虑被 3，5，7 整除得到 得到唯一解a8，b5.故后两位为 85. 例 2、求所有的x，y，使得 . 答疑编号 5721130102 【答案】x=2,y=6 【解答】7289，根据整除 9 性质易得xy8 或 17，根据整除 4 的性质y2 或 6，分 别可以得到 5 位数 32652、32256，检验可知只有 32256 满足题意. 例 3、一本陈年旧账上写的：购入 143 只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊 不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价. 答疑编号 5721130103 “华杯赛
4、”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 2 页 【答案】方框处的数字是 7 和 1，单价 5.37 元 【解答】 解得：a=7，b=1 所以方框处的数字是 7 和 1，单价 5.37 元. 例 4、 要使六位数能够被 63 整除，那么商最小是多少？ 答疑编号 5721130104 【答案】1592 【解答】63=79. 再考虑该数能被 9 整除，有abc2 或 11 或 20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数， 先希望a0. 此时， 易验证b0，b1 无解， 而在b2 时， 有解c9， 所以最小的被除数是 100296， 最小的商是 1592. 例 5、请用数字 6、7、8 各两次组成一个六位
5、数使得这个六位数能够被 168 整除. 答疑编号 5721130105 【答案】768768 【解答】168=378，用 6，7，8 各两次，数字和 42，是 3 的倍数.而用 6、7、8 组成的 3 位数是8的倍数的只有768， 776 .当后三位是768， 776时， 前三位只有12种取法， 经实验只有数768768 符合题目要求。因此唯一符合题目要求的数是 768768. 例 6、用 1、2、3 组成的四位数（可重复）中能够被 11 整除的数有多少个？ 答疑编号 5721130106 【答案】19 个 【解答】 这样的四位数被 11 整除， 一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在
6、1， 2， 3，4 中 ： 1111，1212，1313， 1322 ，2222，2323，3333 七种情况， 其中1111、 2222、 3333每种情况只能得到1个4位数， 1212， 1 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 3 页 313，2323 每种情况可以得到 4 个 4 位数，1322 也能得到 4 个 4 位数，所以一共 有 3+34+4=19 个数. 例 7、 所有五位数中，能够同时被 7，8，9，10 整除的有多少？ 答疑编号 5721130107 【答案】36 个 【解答】7，8，9，10 的最小公倍数是 2520，五位数最小是 10000，最大 99999，共
7、有 90000 个数，999992520=391719，100002520=32440，所以共有 39-3=36 个. 整除（二） 例 1. 用 0、1、2、3、4、5 可以排成 个不含重复数字的能被 11 整除的五位数. 答疑编号 5721130201 【答案】60 个 【解答】 如果奇数位数字之和与偶数位数字之和相等， 那么 5 个数字的总和就肯定是偶数， 而 0+1+2+3+4+5=15， 所以没有用到的那个数字肯定是奇数.如果没有用 5， 那么奇数位上 3 个数字可 能是 0、2、3 或 0、1、4.如果是 0、2、3，把这三个数字排到万位、百位和个位上有 22=4 种排法， 把 1、
8、4 排到千位和十位上有 2 种排法，所以可以排出 42=8 个五位数；同理是 0、1、4 也有 8 种 排法，因此没有用 5 的情形下，可排 8+8=16 个. 如果没有用 3 或 1，用同样方法算出也各有 16 种排法. 如果奇数位数字之和与偶数位数字之和相差 11，那么只可能奇数位上是 3、4、5，偶数位上是 0 和 1.奇数位上排列有 321=6 种，偶数位上排列有 2 种，可以排出 62=12 个五位数. 综上所述，一共可以排出 163+12=60 个符合要求的五位数. 例 2.已知 11 个连续两位数的乘积的末四位都是 0，而且是 343 的倍数，那么这 11 个数中最小 的是多少？
9、 答疑编号 5721130202 【答案】40 【解答】因为连续 11 个数是 343 的倍数，而，但是 11 个数中最多有 2 个是 7 的倍 数，所以这 11 个数中有 49 或者 98。又是 10000 的倍数，而 11 个数中最多有 3 个是 5 的倍数，所 以这 11 个数中又有 25 或者 50 或者 75，并且以 5 的倍数开头和结尾，又要保证有 2 个 7 的倍数， 所以只能是 40 到 50 这 11 个数.所以最小的数是 40. 例 3. 对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数” ： 把它添加到任何一个自然数 的右端，形成的新数都不能被N+1 整除.那么有多少个
10、不大于 10 的破坏数？ 答疑编号 5721130203 【答案】6 个 【解答】首先，奇数肯定是破坏数.因为任何一个自然数右端添上一个奇数，得到的新数必 然还是奇数，不可能被偶数整除. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 4 页 4 也是破坏数，因为末位是 4 的自然数肯定不是 5 的倍数. 由于 312，756，918，11110，所以 2，6，8，10 不是破坏数，因此不大于 10 的破坏 数有 1，3，4，5，7，9，共 6 个. 例 4. 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号. 1 号同学写了一个自然数，2 号 说：“这个数能被 2 整除”，3 号说
11、：“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说这 个数能被他的编号整除.1 号作了一一验证，只有编号相邻的两个同学说得不对. 问 ： （1）说得不对 的两位同学， 他们的编号是哪两个连续自然数. （2） 如果告诉你， 1 号写的是五位数， 请求出这个数. 答疑编号 5721130204 【答案】（1）8 号和 9 号（2）60060. 【解答】（1）首先可以断定编号是 2、3、4、5、6、7 的同学说的一定都对. 不然，其中 说得不对的编号乘以 2 后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两个同学说得不对” 不符合. 因此，这个数能被 2、3、4、5、6、7 整除，从而也能被 2
12、5、3 4、2 7 整除， 即编 号为 10、12、14 的同学说得也对，于是可以断定编号为 11、13、15 的同学说得也对，不然，说得 不对的编号不是连续的两个自然数. 因此，说得不对的两个同学的编号只能是 8 号和 9 号. （2）这个数是 2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15 的公倍数，由于上述 12 个数的最 小公倍数是 ： 2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15 = 60060. 因为 60060 是一个五位数， 而 12 个数的其它公倍数均不是五位数，而且显然这个数不是 8、9 的倍数. 所以 1 号同学写的数就 是 60060. 例 5
13、.两个自然数，差是 98，各自的各位数字之和都能被 19 整除，那么满足要求的最小的一对 数之和是多少？ 答疑编号 5721130205 【答案】60096 【解答】.要求出满足条件的最小的一对数之和， 我们必须求出这两个数。 设较小的那个数 为a， 则另一个数为a+98。 由于a的各位数字之和是 19 的倍数， 故a的各位数字之和可表示为 19n， 若相加过程中不出现进位，那么a+98 所得和的各位数字之和为 19n+9+819n17，数字和不是 19 的倍数。因此在相加的过程中必出现进位。 每出现一次进位， 所得和的数字和都比原来两个加数的数字总和少 1019， 则相加进位后a 98 的各
14、位数字之和可表示为 19n179m，m为相应的进位次数。 179m9m17，当m4 时（此时为m的符合条件的最小值），9m17 为 19 的倍数。因此， 可推知，在相加过程中至少进位四次。而此时n若为 1，原数a的各位数字之和为 19，此时a较小， 要求数字和为 19 的正整数加 98 后，不可能出现四次进位。因此排除n1。若n2，则此时a的各 位数字和为 38。这时得到最小的符合条件的数为 29999，这便是本题答案。由a=29999，得a98 30097，因此满足条件的最小的一对数之和是 299993009760096。 例 6. 已知代表一个正整数，并且 75+和 48+都不是 120
15、的倍数，但是这两个数的乘积能 够被 120 整除.那么“”所代表的正整数最小可能是多少？ 答疑编号 5721130206 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 5 页 【答案】117 【解答】75+和 48+的差为 27，积为 120 的倍数.120=358，而 75+和 48+的奇 偶性是不同的，所以 75+和 48+中必有 1 个数是 8 的倍数；另外 75+和 48+的差为 27，所以 它们必须都是3的倍数.此时如果是8的倍数的那个数又是5的倍数， 则这个数就已经是358=120 的倍数了，于是我们发现 75+和 48+中一个是 38=24 的倍数，另一个是 35=15 的倍数. 如果 75+是 15 的倍数， 48+是 24 的倍数， 则也是 3、 5 和 8 的倍数， 最小是 120； 如果 75+ 是 24 的倍数， 48+是 15 的倍数， 考虑到 75-3=72 是 24 的倍数， 48-3=45 是 15 的倍数， 可以推出+3 也是 3、5 和 8 的倍数，所以+3 最小是 120，最小就是 117. 综上所述，的最小值是
