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1、第十二讲 立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。1） 异面直线所成角2） 直线与平面所成角 若则或 若则3） 二面角 (为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)当为锐角时，当为锐角时，二、例题讲解1.在正三棱柱中，若与所成的角的大小。解：法一：如图一所示，设为、的交点，的中点，则所求角是。设，于是在中， 即 法二：取的中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系的长度单位，则由有2.如图二所示，在四棱锥中，底面是一直角梯形，且与底面成角。若为垂足，求证：；求异面直线所成角的大小。解 ：证明：，再由,得如图三所示设分别为
2、的中点，连结。为平行四边形，分别为的中点，则或它的补角就是异面直线所成角，而。在中，由余弦定理可得所以，异面直线所成角的大小为。法二：以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，异面直线所成角的大小为。3.已知四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点。求证：；求与平面所成角的大小；求二面角的大小。解析：法一：如图四所示，取的中点，连接又因为所以四边形是平行四边形，。又，。连结所成的角。在。即所成角的大小为。作。由三垂线定理，得是二面角的平面角。由所以，二面角的大小为。法二：以为原点，如图五所示，建立直角坐标系。则。取的中点，连结又，。由题意可得，设平面的一个法向量是。即所成角的大小为。设平面的一个法向量为则由可得平面的一个法向量是。所以，二面角的大小为。4.（07福建）如图六所示正三棱柱的所有棱长都为2，求证：求二面角的大小。解析：取中点，连结。因为是正三角形，因为在正三棱柱，平面。连结 在正方形中，O，D分别为的中点。 在正方形中， 取为原点，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。则 设平面的法向量为。令为平面的一个法向量。由知，所以，二面角的大小。直接法设与交于G，在平面中，作于F，连结AF由（1）得是二面角的平面角。在中由等面积可求得又所以，二面角的大小为。
