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1、曲线运动曲线运动 考点梳理考点梳理： 一.曲线运动 1.运动性质变速运动，具有加速度 2.速度方向沿曲线一点的切线方向 3.质点做曲线运动的条件 （1）从动力学看，物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上，合力指向轨迹的凹侧。 （2）从运动学看，物体加速度方向跟物体的速度方向不共线 例题：如图 5-1-5 在恒力 F 作用下沿曲线从 A 运动到 B，这时突然使它受的力反向， 而大小不变，即由 F 变为F，在此力作用下，关于物体以后的运动情况的下列说法中 正确的是（ ） A物体不可能沿曲线 Ba 运动 B物体不可能沿直线 Bb 运动 C物体不可能沿曲线 Bc 运动 D物体不可能沿原曲线由 B
2、返回 A 2、图 5-1-6 簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通 过该电场区域时的运动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电 场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ） A带电粒子所带电荷的符号； B带电粒子在 a、b 两点的受力方向； C带电粒子在 a、b 两点的速度何处较大； D带电粒子在 a、b 两点的电势能何处较大。 二.运动的合成与分解 1.合运动和分运动:当物体同时参与几个运动时,其实际运动就叫做这几个运动的合运 动,这几个运动叫做实际运动的分运动. 2.运动的合成与分解 (1)已知分运动(速度 v、加速度 a、位移 s)求合运动(速度 v、加
3、速度 a、位移 s),叫做 运动的合成. (2)已知合运动(速度 v、加速度 a、位移 s)求分运动(速度 v、加速度 a、位移 s),叫做 运动的分解. (3)运动的合成与分解遵循平行四边形定则. 3.合运动与分运动的关系 (1)等时性:合运动和分运动进行的时间相等. (2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果. (3)等效性:整体的合运动是各分运动决定的总效果,它替代所有的分运动. 三.平抛运动 1.定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动. 2.性质:是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动,轨迹是 抛物线. 3.平抛运动的研究方法 (1)平抛运动的两个分运动
4、:水平方向是匀速直线运动,竖直方 向是自由落体运动. (2)平抛运动的速度 图 5-1-5 a b 图 5-1-6 0 sys y x v v0 vy sx 图 5-2-2 水平方向: ; 竖直方向: 0 vvxgtvy 合速度: ,方向: 22 yx vvv x y v v tg (3)平抛运动的位移 水平方向水平位移：sx=v0t 竖直位移：sy=gt2 2 1 合位移：,方向：tg 22 yx sss x y s s 4.平抛运动的轨迹:抛物线；轨迹方程： 2 2 0 2 x v g y 5.几个有用的结论 (1)运行时间和水平射程:水平方向和竖直方向的两个分运动既有独立性,又有等时性,
5、 所 以运动时间为,即运行时间由高度 h 决定,与初速度 v0无关.水平射程 g h t 2 , 即由 v0和 h 共同决定. g h vx 2 0 (2)相同时间内速度改变量相等,即v=gt, v 的方向竖直向下. 【例题】1.【例题】1.证明:(一个有用的推论)平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度 延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半. 2. 一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向 与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下 落的距离与在水平方向通过的距离之比为 A B 1 tan 1 2tan C Dtan2tan 四.匀速圆周运动 1.匀速
6、圆周运动 (1)定义:做圆周运动的质点,若在相等的时间内通过的圆弧长度相等,叫做匀速圆周运 动. (2)运动学特征: v 大小不变,T 不变,不变,a向大小不变; v 和 a向的方向时刻在变.匀 速圆周运动是变加速运动. v0 v1 v2 v1y v2y v 图 5-2-3 v0 vt vx vy h s s/ 图 5-2-4 (3)动力学特征:合外力大小恒定,方向始终指向圆心. 2.描述圆周运动的物理量 (1)线速度 物理意义:描述质点沿圆周运动的快慢. 方向:质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向. 大小:(s 是 t 时间内通过的弧长). t s v (2)角速度 物理意义:描述
7、质点绕圆心转动快慢. 大小:(单位 rad/s),其中是连结质点和圆心的半径在 t 时间内转过的角度. t (3)周期T、频率f 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.单位:s. 做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数,叫做频率,也叫转速.单 位:Hz. (4) v、T、f的关系 , f T 1 f T 2 2 r v r v 2 (5)向心加速度 物理意义:描述线速度方向改变的快慢. 大小: 22 22222 2 4 44 v aw rrf rn r rT 方向:总是指向圆心.所以不论 a 的大小是否变化,它都是个变化的量. 3.向心力 F向 作用效果:产生向心加速度,不断
8、改变质点的速度方向,维持质点做圆周运动,不改变 速度的大小. 大小: 22 22222 2 4 44 v Fmmw rmrmf rmn r rT 来源:向心力是按效果命名的力.可以由某个力提供,也可由几个力的合力提供,或由 某个力的分力提供.如同步卫星的向心力由万有引力提供,圆锥摆摆球的向心力由重力和绳 上拉力提供(或由绳上拉力的水平分力提供). 匀速圆周运动的向心力就是合外力,而在非匀速圆周运动中,向心力是合外力沿半径 方向的分力,而合外力沿切线方向的分力改变线速度的大小. 4.质点做匀速圆周运动的条件: (1)质点具有初速度; (2)质点受到的合外力始终与速度方向垂直; (3)合外力 F
9、的大小保持不变,且 rm r v mF 2 2 若,质点做离心运动;若,质点做向心运动;rm r v mF 2 2 rm r v mF 2 2 F=0 F mr2, 图 5-3-1 若F=0,质点沿切线做直线运动. 问题与方法问题与方法 一.绳子与杆末端速度的分解方法一.绳子与杆末端速度的分解方法 绳与杆问题的要点， 物体运动为合运动， 分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的分 运动 例题：1.如图 5-1-7 岸上用绳拉船，拉绳的速度是,当绳与水平方向夹角为时，船的v 速度为多大？ 2.如图5-1-3车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水 平面上运动 ，求 v1v2 二二.
10、小船过河问题小船过河问题 1 渡河时间最少 ： 在河宽、 船速一定时， 在一般情况下， 渡河时间 sin 1船 dd t ，显然，当时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为，合运动沿v 90 v d 的方向进行。 2位移最小 若 水船 v水 v船 v 结论船头偏向上游， 使得合速度垂直于河岸， 位移为河宽， 偏离上游的角度为 船 水 cos 若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？ 水船 vv 如图所示， 图 5-1-7 v 甲 乙 v1 v2 图 5-1-3 v水 v A B E v船 设船头 v船与河岸成 角。 合速度 v 与河岸成 角。 可以看出 ： 角越
11、大， 船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以 v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当 v 与圆 相切时， 角最大，根据船头与河岸的夹角应为 水 船 v v cos ，船沿河漂下的最短距离为： 水 船 v v arccos sin )cos( min 船 船水 v d vvx 此时渡河的最短位移： 船 水 v dv d s cos 问题：有没有船速等于水速时，渡河最短位移的情况 【例题】河宽 d60m，水流速度 v16ms，小船在静水中的速度 v2=3ms，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航
12、程是多少? 解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 ss d t20 30 60 2 (2)渡河航程最短有两种情况： 船速 v2大于水流速度 v1时，即 v2v1时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽 ； 船速 v2小于水流速度 vl时， 即 v2v1时， 合速度 v 不可能与河岸垂直， 只有当合速度 v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以 v1的末端为圆心，以 v2的 长度为半径作圆，从 v1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。 设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成 角，则 ， 2 1 6 3 c
13、os 1 2 60 最短行程，mm d s120 2 6 60 cos 小船的船头与上游河岸成 600角时，渡河的最短航程为 120m。 问题三：绳杆模型问题三：绳杆模型 竖直平面内的圆周运动 （1）绳子模型 没有物体支持的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点： 临界条件:小球在最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零,小球的重力充当 圆周运动所需的向心力,设 v临是小球能通过最高点 的最小速度,则： mg=，v临 r v m 2 gr 能过最高点的条件:vv临 不能通过最高点的条件:v v临，实际上物体在到达最高点之前就脱离了圆轨道. （2）轻杆模型 .有物体支持的小球在竖直平面内做圆周
14、运动情况 临界条件:由于硬杆或管壁的支撑作用,小球能到达最高点的临界速度v临0,轻杆或轨 道对小球的支持力:N=mg 当最高点的速度 v时,杆对小球的弹力为零.gr 当 0v时,杆对小球有拉力（或管的外壁对小球有竖直向下的压力）： gr Fmg，而且：vN r v m 2 例题：如下图所示，光滑管形圆轨道半径为 R(管径远小于 R)，小球 a、b 大小相同质量均为 m，其直径略 小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同的速度 通过轨道的最低点，且当小球 a 在最低点时， 小球 b 在最高点.以下说法正确的是( ) v m v m 图 5-3-4 v m v m 图 5-3-5 A.速度 至
15、少为，才能使小球在管内做圆运动 B.当 =，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力 C.当小球 b 在轨道最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需向心力大 4mg D.只要 ，小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 6mg 问题四：水平面内做圆周运动的临界问题问题四：水平面内做圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 w 变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势，这 时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪，特别 是一些静摩擦力，绳子的拉力等 例题 ： 1.如图所示，细绳一端系着质量为 M=0.6kg 的物体，静止在水平
16、面上，另一端通 过光滑小孔吊着质量为 m=0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离 为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N。现使此平面 绕中心轴转动，问角速度在什么范围内 m 处于静止状态？ （取 g=10m/s2） 2.水平转台上放有质量均为 m 的两个小物块 A、B,A 离转台的距离为 L, A、B 间用长为 L 的 细线相连,开始时 A、B 与轴心在同一直线上,线被拉直, A、B 与水平转台间的动摩擦因数均 为.当转台的角速度达到多大时线上出现张力? 当转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑 动? m M rO 图 5-3-11 A B 图 5-3-12 问题五：生活中的一些圆周运动问题五：生活中的一些圆周运动 1.水流星问题 用一根绳子系着盛水的杯子， 演员抡起绳子， 杯子在竖直平面内做圆周运动， 此即为水流星。 参照绳子模型 2.火车转弯问题 3.汽车过拱形问题 4.航天器中的失重现象 1 【2012无锡期中】如
