高中数学必修一知识点总结-

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1、辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）1 高中数学必修一知识点总结高中数学必修一知识点总结 辽宁家教协会内部辽宁家教协会内部资料资料禁止翻印禁止翻印 姓名：姓名： 编号：编号： 学校：学校： 年级：年级： 科目：科目： 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）2 第一章第一章集合集合 一、集合的概念：一、集合的概念： 我们看到的、听到的、闻到的、触摸到、想到的各种各样的事物或一些 抽象的符号，都可以看作对象对象。 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个

2、整体是 由这些对象的全体构成的集合集合（或集集） 。构成集合的每个对象叫做这个集合 的元素元素（或成员成员） 。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集空集，记作: 通常用大写字母 A,B,C,表示集合；用小写字母a,b,c，表示元素。 (1)集合中元素与集合的关系集合中元素与集合的关系：属于；不属于。 若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA. (2)(2)(2)(2)集合中元素的三个特性：集合中元素的三个特性：确定性、互异性与无序性； 确定性确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的 元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性

3、互异性： 一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体 （对 象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列 顺序无关； (3)根据含有元素个数可将集合分为有限集有限集和无限集无限集 (4)常用数集及其记法： 非负整数集非负整数集（或自然数集自然数集） ，记作 N N N N；正整数集正整数集，记作 N N N N* * * *或或 N N N N+ + + +； 整数集整数集，记作Z Z；有理数集有理数集，记作 Q Q； 实数集实数集，记作 R R R R 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学

4、命题教研组：13591657580 （姚老师）3 二、集合的表示方法：二、集合的表示方法： 表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 1.列举法列举法：把集合中的元素都列举出来，写在大括号内； 适用：有限集，元素不太多；元素较多，但排列又呈现一定规律。 2.描述法描述法： 一般地，在集合 I 中，属于集合 A 的任意一个元素x都具有性质p(x), 而不属于集合 A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合 A 的一个特特 征性质征性质。 集合 A 可以用它的特征性质p(x)描述为xI|p(x),这种表示集合的方法 叫做特征性质描述法特征性质描述法，简称描述法描述法。 具体方法：在大括

5、号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或 变化)范围， 再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示 法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 3. 3. 3. 3.图示法：图示法：一般用韦恩图表示。 三、集合间的关系 1. 1. 1. 1.包含关系：包含关系： 一般地， 集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 那么集合A叫做集 合B的子集子集，记作：AB或 BA,读作： “A A A A 包含于包含于 B”或“B包含包含A” 。 如果集合 P 中存在着不是集合 Q 的元素， 那么集合

6、 P P P P 不包含于不包含于 Q Q Q Q， 或 Q Q Q Q 不包含不包含 P P P P，分别记作: 规定：空集是任意一个集合的子集。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）4 如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那 么集合 A 叫做集合 B 的真子集真子集，记作：AB 或 BA 读作： “A A A A 真包含真包含于于 B B B B” ，或“B B B B 真包含真包含 A A A A” 性质：(1)任意一个集合 A 都是它本身的子集，即 AA； (2)空集是任意一个集合的子

7、集，即A； (3)若AB，BC,则AC；若AB,BC,则AC； (4)若集合A是 n 个元素的集合，则集合A有 2n个子集（其中 2n1 个真子集） ； 注：子集与真子集的区别与联系：集合 A 的真子集一定是其子集，而集 合 A 的子集不一定是其真子集；若集合 A 有 n 个元素，则其子集个数为 2n， 真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n-2. 2. 2. 2. 2.集合相等：集合相等： 一般地,集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个 元素也都是集合 A 的元素,那么我们就说集合集合 A A A A 等于集合等于集合 B B B B,记作：A=B 注解：构成两个

8、集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记 作A=B；若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB； 3. 3. 3. 3.集合关系与特征性质间的关系。集合关系与特征性质间的关系。 一般地,设 A=x|p(x),B=x|q(x),如果 AB,则xAxB, 于是 x 具有性质p(x)x具有性质q(x)， 即p(x)q(x)则 A 一定是 B 的子集。 如果p(x)q(x)则 A=B；反之如果 A=B 则p(x)q(x)。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）5 四、四、集合的基本运算集合的基本运算 集合的基本运算包括交集、

9、并集和补集.在解题时要注意 Venn 图及补集思 想的应用。 1. 1. 1. 1.交集交集 一般地，对于两个给定的集合 A,B 由属于 A 又属于 B 的所有元素构成 的集合，叫做 A 与 B 的交集交集。记作 AB，读作“A 交 B” lO=A,B;AB 可用图中阴影部分表示 意义：AB=x|xA 且xB 运算性质： ABBA；AAA；A； 如果 AB，则 ABA；ABA，ABB； 2. 2. 2. 2.并集并集 一般地，对于两个给定的集合 A,B 由两个集合所有的元素构成的集合， 叫做 A 与 B 的并集并集。记作 AB。读作“A 并 B” 。 意义：AB=x|xA 或xB 运算性质:

10、ABBA；AAA；AA； ABBAB.ABA，ABB； 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）6 3. 3. 3. 3.补集：补集： 在研究集合与集合间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合 的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用 U 表示。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构 成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作：CUA 意义：AB=x|xU 或xA 注意注意： 全集是一个相对概念， 一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集， 是我们为研究集合关系临时选定的一个集合. 集

11、合集合 A A A A 与其补集的区别与联系与其补集的区别与联系: : : :两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一 起,就是全集. 交集、并集、补集的关系： ACUA；ACUAA； CU(AB)(CUA)(CUB)；CU(AB)(CUA)(CUB) 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）7 第二章第二章 函数函数 第一部分、函数的基本第一部分、函数的基本概念概念 1. 1. 1. 1.映射映射: : : :设 A、B 是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合 A 的任 何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这

12、样的对应叫做从集 合 A 到集合 B 的映射,记作f： AB.(包括集合 A,B 及 A 到 B 的对应法则) 注:(1)对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射） (2)集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射） (满射即集合B中的每一个元素都有原象。) 对映射概念的认识 (1)f: AB 与f: BA 是不同的,即 A 与 B 上有序的.或者说： 映射是有方向的. (2)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一输出值.输出值的集合 是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输

13、入值. 即：即：( ( ( (i i i i) ) ) )不允许集合不允许集合 A A 中有空余元素；中有空余元素；(ii)(ii)(ii)(ii)允许集合允许集合 B B 中有剩留元素；中有剩留元素； (iii)(iii)(iii)(iii)允许多对一，不允许一对多允许多对一，不允许一对多. . 2 2. .函数函数：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集 合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对 应。称f: AB 为从集合 A 到集合B的一个函数,记作：y=f(x),xA (1)函数的定义域、值域： 在函数y=f(x),xA 中，x

14、 x x x叫做自变量自变量,x的取值范围 A 叫做函数的定义定义 域域；与x的值相对应的y y y y值叫做函数值函数值,函数值f(x)|xA的集合 B 叫做函 数的值域值域. 注意:(i)函数符号y=f(x)与f(x)的含义是一样的; 都表示y是x的函数,其中 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）8 x是自变量,f(x)是函数值,连接的纽带是法则f。f是单值对应。 (ii)定义中的集合 A，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； (2)一个函数的构成要素函数的构成要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数相等函数：两函数定

15、义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。 注:两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。 如函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数； y=sinx与y=cosx， 其定义域为R， 值域都为-1,1， 显然不是相等函数。 因此判断判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系 (4)函数的表示方法函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数分段函数: :若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义

16、域的并集定义域等于各段函数的定义域的并集, ,其值域等于各段函其值域等于各段函 数的值域的并集数的值域的并集, ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。 (6)复合函数:设y=f(u)，,u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值 在y=f(u)的定义域 Df 内变化,因此变量x与y之间通过变量u形 成的一种函数关系,记为：y=f(u)=fg(x)称为复合函数(composite function),其中x称为自变量,u为中间变量， y为因变量(即函数)。 如：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2 则称fg(x)(或gf(x)为复合函数。 fg(x)=2(x2+2)3=2x2+1;gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）9 第第二二部分、函数的基本性质部分、函数的基本性质 一、一、函数定义域的求法：函数定义域的求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一