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1、高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点 第 1 页 共 12 页 主要公式总结主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1、二次曲面 1）椭圆锥面：1）椭圆锥面： 2 2 2 2 2 z b y a x 2）椭球面： 旋转椭球面：2）椭球面： 旋转椭球面： 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z a y a x 3）单叶双曲面： 双叶双曲面：3）单叶双曲面： 双叶双曲面： 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 4）椭圆抛物面： 双曲抛
2、物面（马鞍面）：4）椭圆抛物面： 双曲抛物面（马鞍面）： z b y a x 2 2 2 2 z b y a x 2 2 2 2 5）椭圆柱面： 双曲柱面：5）椭圆柱面： 双曲柱面： 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 6）抛物柱面：6）抛物柱面： ayx 2 （二） 平面及其方程（二） 平面及其方程 1、点法式方程：1、点法式方程： 0)()()( 000 zzCyyBxxA 法向量：，过点 法向量：，过点),(CBAn ),( 000 zyx 2、一般式方程：2、一般式方程：0DCzByAx 截距式方程：截距式方程： 1 c z b y a x 3、两平
3、面的夹角：，3、两平面的夹角：，),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA ； 21 0 212121 CCBBAA 21/ 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 4、点到平面的距离：4、点到平面的距离：),( 0000 zyxP0DCzByAx 高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点 第 2 页 共 12 页 222 000 CBA DCzByAx d （三） 空间直线及其方程（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：1、一般式方程： 0 0 2222 1111 DzCy
4、BxA DzCyBxA 2、对称式（点向式）方程：2、对称式（点向式）方程： p zz n yy m xx 000 方向向量：，过点 方向向量：，过点),(pnms ),( 000 zyx 3、两直线的夹角：，3、两直线的夹角：，),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm ； 21 LL0 212121 ppnnmm 21/L L 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 2
5、22222 sin pnmCBA CpBnAm ； ； /L0CpBnAmL p C n B m A 第九章 多元函数微分法及其应用第九章 多元函数微分法及其应用 1、连续：1、连续： ),(),(lim 00 ),(),( 00 yxfyxf yxyx 2、偏导数：2、偏导数： ； x yxfyxxf yxf x x ),(),( lim),( 0000 0 00 y yxfyyxf yxf y y ),(),( lim),( 0000 0 00 3、方向导数： 3、方向导数： 其中为的方向角。其中为的方向角。 coscos y f x f l f ,l 4、梯度：，则。4、梯度：，则。),
6、(yxfz jyxfiyxfyxgradf yx ),(),(),( 000000 5、全微分：设，则5、全微分：设，则),(yxfz ddd zz zxy xy （一） 性质（一） 性质 高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点 第 3 页 共 12 页 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连 续 偏导数连 续 充分条件充分条件 必要条件必要条件 定义定义 1 2 2 3 4 2、微分法2、微分法 1）复合函数求导：链式法则 1）复合函数求导：
7、链式法则 若，则 若，则 ( , ),( , ),( , )zf u v uu x y vv x y ， zzuzv xuxvx zzuzv yuyvy （二） 应用（二） 应用 1）求函数的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令1）求函数的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令),(yxfz 0 0 y x f f ),( 00 yx ，),( 00 yxfA xx ),( 00 yxfB xy ),( 00 yxfC yy 若，函数有极小值， 若，函数有极大值；若，函数有极小值， 若，函数有极大值；0 2 BAC0A0 2 BAC0A 若，函数没有极值；若，函数没有极值
8、；0 2 BAC 若，不定。若，不定。0 2 BAC 2、几何应用2、几何应用 1）曲线的切线与法平面1）曲线的切线与法平面 曲线，则上一点（对应参数为）处的曲线，则上一点（对应参数为）处的 )( )( )( : tzz tyy txx ),( 000 zyxM 0 t 切线方程为：切线方程为： )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx 高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点 第 4 页 共 12 页 法平面方程为：法平面方程为： 0)()()( 000000 zztzyytyxxtx 2）曲面的切平面与法线2）曲面的切平面与法线 曲面，则上一点处的切平面方程
9、为：曲面，则上一点处的切平面方程为：0),(:zyxF),( 000 zyxM 0)(,()(,()(,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 法线方程为： 法线方程为： ),(),(),( 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 第十章 重积分第十章 重积分 （一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积 1、定义：1、定义： n k kkk D fyxf 1 0 ),(limd),( 2、计算：2、计算： 1）直角坐标1）直角坐标 ， bxa xyx yxD )
10、()( ),( 21 2 1 ( ) ( ) ( , )d dd( , )d bx ax D f x yx yxf x yy ， dyc yxy yxD )()( ),( 21 2 1 ( ) ( ) ( , )d dd( , )d dy cy D f x yx yyf x yx 2）极坐标2）极坐标 ， )()( ),( 21 D 2 1 ( ) ( ) ( , )d d(cos , sin )d D f x yx ydf （二） 三重积分（二） 三重积分 1、定义：1、定义： n k kkkk vfvzyxf 1 0 ),(limd),( 2、计算：2、计算： 1）直角坐标1）直角坐标 -
11、“先一后二先一后二” D yxz yxz zzyxfyxvzyxf ),( ),( 2 1 d),(ddd),( -“先二后一先二后一” Z D b a yxzyxfzvzyxfdd),(dd),( 2）柱面坐标2）柱面坐标 高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点 第 5 页 共 12 页 ， zz y x sin cos ( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 3）球面坐标3）球面坐标 cos sinsin cossin rz ry rx 2 ( , , )d( sin cos , sin sin , cos )sin d d df x y zvf r
12、rrrr （三） 应用（三） 应用 曲面的面积：曲面的面积：DyxyxfzS),( , ),(: yx y z x z A D dd)()(1 22 第十一章 曲线积分与曲面积分第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分（一） 对弧长的曲线积分 1、定义：1、定义： 0 1 ( , )dlim( ,) n iii L i f x ysfs 2、计算：2、计算： 设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在 ),(yxfLL)( ),( ),( t ty tx )(),(tt 上具有一阶连续导数，且，则上具有一阶连续导数，且，则 ,0)
13、()( 22 tt 22 ( , )d ( ),( )( )( )d ,() L f x ysfttttt （二） 对坐标的曲线积分（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义在 L 上有界，定义 xoy),(yxP),(yxQ ，. . n k kkk L xPxyxP 1 0 ),(limd),( n k kkk L yQyyxQ 1 0 ),(limd),( 向量形式：向量形式： LL yyxQxyxPrFd),(d),(d 2、计算：2、计算： 设在有向光滑弧上有
14、定义且连续, 的参数方程为设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为),(, ),(yxQyxPLL 高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点 第 6 页 共 12 页 ，其中在上具有一阶连续导数，且，则，其中在上具有一阶连续导数，且，则 ):( ),( ),( t ty tx )(),(tt,0)()( 22 tt ( , )d( , )d ( ),( ) ( ) ( ),( )( )d L P x yxQ x yyPtttQtttt 3、两类曲线积分之间的关系：3、两类曲线积分之间的关系： 设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，
15、)( )( ty tx L ：L),(yx, ， )()( )( cos 22 tt t )()( )( cos 22 tt t 则.则.dd(coscos)d LL P xQ yPQs （三） 格林公式（三） 格林公式 1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 在D 上具有连续一阶偏导数, ),(, ),(yxQyxP 则有则有 LD yQxPyx y P x Q dddd 2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，G),(, ),(yxQyxPG 则 曲线积
