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1、 1. 偏导数求解方法： 例题：求 22 z=3xxyy在(1,2)处的偏导数. 解：把 y 看作常量，得 23 z xy x 把 x 看作常量，得 32 z xy y 将（1,2）带入上述结果，就得 1 2 |2 1 3 28 x y z x 1 2 |3 12 27 x y z y 2. 高阶偏导数求解方法. 设函数z(x,y)f在区域 D 内具有偏导数 (x,y) x z f x (x,y) y z f y 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 2 2 ()(x,y) xx zz f xxx , 2 ()(x,y) xy zz f yxx y 2 ()(x,y) yx zz f
2、xyy x , 2 2 ()(x,y) yy zz f yyy 3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy) 函数(x,y)全微分： zz dzdxdy xy . 例题：计算函数 xy ze在点(2,1)处的全微分. 解： , x yx y zz yexe xy 22 22 11 |,|2 xx yy zz ee xy 所以 22 2dze dxe dy 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数). 例题 1：设zuvsin t，而 t ue，cosvt，求全导数 dy dt 。 解： sincos t dzz duz dvz veutt dtu dtv dtt cossi
3、ncos(cossin)cos ttt etettettt 例题 2：求 22 (xy ,x y) 2 2 z x （其中f具有二阶连续偏导数）. 解： 2 2 12 2 2 1 2 2222 111222122 4322 111222 ()(2) 2() (y2)2 (2) y44 zz y ffyx xxxx f yyf x xx yfxyfy fxy fx yf fxy fx y f 5. 隐函数求导公式. 定理 1：设函数F(x,y)在点 00 P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且 00 F(x ,y )0， 00 F (x ,y )0 y 在点 00 (x ,y )的某一领
4、域内恒能唯一确定一个连 续且具有连续导数的函数(x)yf，它满足条件 00 (x )yf，并有 x y dyF dxF . 定理2： 设函数F(x,y,z)在点 000 P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数， 且 000 F(x ,y ,z )0， 000 F (x ,y ,z )0 z 在点 000 (x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 导 数 的 函 数(x,y)zf， 它 满 足 条 件 000 ( x , y )zf，并有 x z zF xF ， y z F z yF . 例题：设方程 222 2xyzxyz确定隐函数(x,y)
5、zz，求 (1,0, 1) dz | . 解：令 222 (x,y,z)2Fxyzxyz 222 x Fxyz xyz ， 222 y Fyxz xyz 222 z Fzxy xyz 222 222 yz xyzxzFx xFz xy xyzz 222 222 x zxyzyzF y yF z x yxyzz (1,0, 1)(1,0, 1) |1 ,|2 zz xy (1,0, 1) dz|2dxdy . 6. 空间曲线的切线和法平面。 设曲线的参数方程为(t) , y(t) , z(t)x(t ，三个 函数在 , 上可导).取曲线上一点 000 M(x ,y ,z ),则曲线在 M 点 处
6、的切线方程为 000 xy yz z (t)(t)(t) x 切线方向向量成为切向量，向量 (t),(t),(t)T 就是曲线在点 M 的一个切向量. 法平面过 000 M(x ,y ,z )，且以T为法向量，法平面方程为 000 (t)(x )(t)(y y )(t)(z z )0 x 例题：求曲线 23 ,xt ytzt在点(1,1,1)处的切线及法平面. 解：因为 2 x1,2 ,3 ttt yt zt。而点(1,1,1)所对应的参数 t=1，所以 (1,2,3)T 切线方程为 111 123 xyz 法平面方程为 (x 1) 2(y 1)3(z 1)0 即 236xyz. 7. 曲面的
7、切平面与法线. 设曲面由(x,y,z)0F给出， 000 M(x ,y ,z )是曲面上的一点. 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量 000000000 ( x , y , z ) ,( x , y , z ) ,( x , y , z ) ) xyz nFFF 就是曲面在点 M 处的一个法向量。 曲面的切面方程是 000000000000 (x ,y ,z )(x )(x ,y ,z )(y y )(x ,y ,z )(z z )0 xyz FxFF 曲面的法线方程是 000 000000000 xy yz z (x ,y ,z )(x ,y ,z )(x ,y ,z ) xyz
8、 x FFFv . 例题： 求旋转抛物面 22 1zxy在点(2,1,4)的切平面及法线方程. 解: 22 (x,y)x1fy (2,1,4) (, 1)=(2x,2y,-1) |(4,2, 1) xy nff n 所以在点处的切平面方程是 4(x2)2(y 1)(z 4)0 即 4x+2y-z-6=0 法线方程为 214 421 xyz 求切平面的步骤：已知函数(x,y,z)F，求其在 000 (x ,y ,z )处的切平面. (1)求一阶偏导数, xyz F F F ; (2)法向量(,) xyz nF F F ; (3)切平面为: 000 (x )(y y )(z z )0 xyz F
9、xFF. 8. 方向导数. 如果函数(x,y)f在点 000 (x ,y )p可微分，那么函数在该点沿任一方 向l的方向导数存在，且有 00 (x ,y )00y00 |(x ,y )cos+ (x ,y )sin x f ff l 其中cossin，是方向l的方向余弦. 例题：求函数 2y zxe在点(1,0)处沿着从点 P(2,3)到点 Q( 1,2)的方 向导数. 解：这里方向l即( 3, 1)PQ 的方向，与l同向的单位向量为 31 () 1010 e ，. 因为函数可微分，且 22 (1,0)(1,0) |1 ,|22 yy zz exe xy 故所求方向导数为 (1,0) 315
10、|12 101010 z l 9. 梯度. 函数(x,y)f在点 000 (x ,y )p处的梯度记作 00 (x ,y )grad f，即 0000y00 (x ,y )(x ,y ) + (x ,y ) x grad ffi fj 10. 多元函数的极值和其求法. 定理 1：设函数(x,y)zf在点 00 (x ,y )具有偏导数，且在点 00 (x ,y )处 有极值，则有 00y00 (x ,y )=0(x ,y )=0 x ff， 定理 2： 设函数(x,y)zf在点 00 (x ,y )的某一领域连续且有一阶及二 阶连续偏导数 00y00 (x ,y )=0(x ,y )=0 x
11、ff，令 x00 x y00y y00 ( x , y ) = A( x , y ) = B ,( x , y ) = C , x fff， 则(x,y)zf在 00 (x ,y )处是否取得极值的条件如下： (1) 2 AC-B0时具有极值， 且当 A0 或 C0 或 C0 时 00 (x ,y )f是极小值； (2) 2 AC-B0时， 00 (x ,y )f不是极值； (3) 2 AC-B0时， 可能有极值， 也可能没有极值. （以上方法失效， 需进一步判定） 例题：求函数 3322 (x,y)x339fyxyx的极值. 解：先解方程组 2 2 (x,y)3690 (x,y)360 x
12、y fxx fyy 求得驻点为(1,0) (1,2) ( 3,0) ( 3,2)、. 再求二阶偏导数 x (x,y)6x6 x f， x y( x , y ) 0f ， yy(x,y) 6y 6f 在点(1,0)处， 2 AC-B12 60，又 A0，所以函数在(1,0)处有极 小值(1,0)5f ； 在点(1,2)处， 2 AC-B12 ( 6)0 ，所以(1,2)f不是极值； 在点( 3,0)处， 2 AC-B12 60 ，所以( 3,0)f 不是极值； 在点( 3,2)处， 2 AC-B12 ( 6)0 ，又 A0，所以函数在( 3,2)处 有极大值( 3,2)31f . 11. 条件极
13、值 拉格朗日乘数法.(必考) 要找函数(x,y)zf在附加条件(x,y)0下的可能极值点，可以 先作拉格朗日函数： (x,y)(x,y)(x,y)Lf 其中为参数.求其对 x 和 y 的一阶偏导数，并使之为零，然后 与(x,y)0联立起来： (x,y)(x,y)0 (x,y)(x,y)0 (x,y)0 xx yy f f 由方程组解出 x，y 及，这样得到的(x,y)就是函数(x,y)zf在 附加条件(x,y)0下的可能极值点. 例题 1： 求函数 222 ( ,y,z)23f xxyz在条件 222 100 xyz下的最 大值和最小值. 解：作拉格朗日函数： 222222 ( ,y,z)23
14、(100)L xxyzxyz 令： 222 220 420 620 100 x y z Lxx Lyy Lzz xyz 0 0 10 x y z 0 10 0 x y z 10 0 0 x y z 因为( 10,0,0)100 ,(0, 10,0)200 ,(0,0, 10)300fff 所以( 10,0,0)100 ,(0,0, 10)300 minmax ffff 例题 2： 抛物面 22 zxy被平面1xyz截成一椭圆， 求原点到 这一椭圆的最长与最短距离. 解 ： 在 椭 圆 上 任 取 一 点(x,y,z)， 其 到 原 点 的 距 离 是 222 dxyz，令 2222 (x,y,z)fdxyz. 作拉格朗日函数： 22222 ( ,y,z)()(1)L xxyzxyzxyz 令： 22 220 220 20 1 x y z Lxx Lyy Lz
