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1、第3课时 数学归纳法,了解数学归纳法的原理/能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,【命题预测】 1进一步理解“数学归纳法”的含义和本质，掌握数学归纳法证题的两个步骤、一个结论，会用数学归纳法证明简单的恒等式理解为证nk1成立，必须用nk成立的假设，掌握为证nk1成立的常见变形技巧 2掌握归纳与推理的方法，培养大胆猜想、小心求证的辩证思维素质，培养对于数学内在美的感悟能力,3数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视只要与自然数有关，都可考虑用数学归纳法，当然恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等运用得更多一些 4高考中数学归纳法主要出现在综合题中，要引
2、起足够重视 【应试对策】 1不完全归纳法所得到的命题并不能保证成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段在对问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳，形成猜想，再试图去证明或否定这种猜想因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要,2完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 3数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有
3、意义的最小的正整数n0，如果当nn0时命题成立，再假设当nk(kn0，kN)时命题成立(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当nk1时命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n01，n02，命题都成立,4用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个难点找出它们之间的差异，从而决定nk1时，P(k1)做何种变形一般地，只有将nk1时P(k1)的整式进行分拆，配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实 用数学归纳法证明几何中的问题时，难点就是在P(k)P(k1)递推时，找出nk与nk1时的递推公式 ，这是关键所在要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲
4、线段、平面块在P(k)基础上净增多少，于是就可以找出相应的递推关系 5运用数学归纳法证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题，在解析几何中主要是探索递推关系，学会思维方法离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的，因此在日常学习中，尤其是在解题过程中，必须把思维集中在解答问题的整个过程上，理清思路是学习的重点,【知识拓展】 用数学归纳法证明的常见问题 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项
5、和因式分解等手段，凑出nk1时的情形，从而利用归纳假设使问题获证 用数学归纳法证明不等式，推导nk1也成立时，常用到证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用，在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系,数学归纳法公理 如果(1)当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论正确； (2)假设当nk(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n 时结论也正确 那么，命题对于从n0开始的 正整数n都成立 思考：数学归纳法的两个步骤有什么关系？ 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则会导致错误,k1,所有
6、,1用数学归纳法证明22323223n13n1时，第一步应验证n为_时等式成立 答案：1 2应用数学归纳法证明35(2n1)n22n时，第一步验证n等于_ 解析：由32n1，得n1.所以第一步应验证n1. 答案：1 3某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得_,当n6时该命题不成立当n6时该命题成立当n4时该命题不成立当n4时该命题成立 解析：依题意，n4时该命题成立，则n5时该命题成立，而n5时该命题不成立，故n4时，该命题不成立，却无法断定n6时该命题成立还是不成立 答案： 4.用数学归纳法证明122
7、22n12n1时，当nk1时左边的式子为_ 解析：当nk1时，左边12222k12(k1)112222k. 答案：12222k,5用数学归纳法证明等式 ，假设当nk时等式成立，证明当nk1时应推证的目标等式为_ 解析：当nk1时， 当nk1时应推证的等式为 答案：,数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明nk1成立时，必须用nk成立的结论用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结论”用数学归纳法证明等式时过程也是“两个步骤一个结论”,【例1】 用数学归纳法证明： nN*时， 思路点拨：用数学归纳法的步骤为：归纳奠基：验证当n1时成立；归纳递推：假设当nk时成立，推出当nk1时也成立 证明：
8、当n1时，左边 右边 左边右边，所以等式成立 假设nk(k1)时等式成立，即有 则当nk1时，,所以当nk1时，等式也成立由，可知，对一切nN*等式都成立,变式1：用数学归纳法证明： (其中nN*) 证明：(1)当n1时，左边 ，右边 ，等式成立 (2)假设当nk时，等式成立，就是 那么 这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)可知等式对任何nN*都成立,在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后用数学归纳法给出证明其步骤可以总结为观察、归纳、猜想、证明 【例2】 已知数列 ，Sn为其前n项和，计算得 观察上述结果
9、推测 出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明 思路点拨：观察得出an ，比较Sn中n与分母的关系，得出分母为(2n1)2，而分子比分母小1，故Sn .,解：Sn nN*. 证明：(1)当n1时，S1 等式成立 (2)假设nk时，等式成立，即Sk 当nk1时， 则nk1时等式也成立 根据(1)(2)可知，对任何正整数n等式都成立,变式2：(2010山东青州一中阶段性测试)数列an满足Sn2nan(nN*) (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想 (1)解：当n1时，a1S12a1，a11. 当n2时，a1a2S222a2，a2 . 当n3
10、时，a1a2a3S323a3，a3 . 当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4 . 由此猜想an (nN*),(2)当n1时，a11，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak ， 那么nk1(k1且kN*)时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1. 2ak1 . ak1 ，即当nk1时猜想也正确，综上所述，猜想对一切nN*成立,整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法也可以说将式子“硬提公因式”，即将nk时的项从nk1时的项中“
11、硬提出来”，构成nk时的项，后面的式子相对变形，使之与nk1时的项相同，从而达到利用假设的目的,【例3】 用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n2122n1是133的倍数 思路点拨：第一步的初始值，有的同学可能会写：当n1时，11n2122n1113123(1112)(1121112122)23(121144132)23133. 23133能被133整除，即n1时命题成立 因为自然数中包括0，所以第一步应验证n0，而不是n1. 证明：(1)当n0时，11n2122n111212112112133.故n0时命题成立 (2)假设当nk(kN)时命题成立，即11k2122k1能被133整除 则
12、nk1时，11(k1)2122(k1)11111k2122122k1 11(11k2122k1)122122k111122k1 11(11k2122k1)122k1(14411)11(11k2122k1)122k1133.,由归纳假设知11k2122k1及133都能被133整除， 11(k1)2122(k1)1能被133整除，即nk1时命题也成立 根据(1)(2)可知，命题对一切自然数都成立,变式3：用数学归纳法证明：f(n)352n123n1，对任意自然数n，f(n)都能被17整除 证明：(1)当n0时，f(0)35217，能被17整除，命题成立 (2)设nk(kN)时，f(k)352k12
13、3k1能被17整除，则nk1时， f(k1)352k323k452352k12323k125352k1823k1 17352k1823k18352k117352k18(352k123k1) 17352k18f(k) 由归纳假设，f(k)能被17整除，17352k1也能被17整除，所以f(k1)能被17整除由(1)(2)可知，对任意nN，f(n)都能被17整除,用数学归纳法证明的关键是“变形”，即在假设的基础上，通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，最后得出要证明的目标不等式 【例4】 试证明：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n1，nN*且a，b，c互不相等时，均有ancn2
14、bn. 思路点拨：本题要分成两种情况进行讨论，对于等比数列可以利用基本不等式解决，对于等差数列要先转化，然后利用数学归纳法证明 证明：(1)设a，b，c为等比数列，a ，cbq(q0且q1)， ancn bnqnbn 2bn.,(2)设a，b，c为等差数列， 则2bac.猜想 (n2且nN*) 下面用数学归纳法证明： 当n2时，由2(a2c2)(ac)2， . 设nk(k2且kN)时成立，即 ， 则当nk1时，由于ak1ck1(akccka)(ac)(akck)0， 所以 (ak1ck1ak1ck1) (ak1ck1akccka) (akck)(ac) ，也就是说，等式对nk1也 成立 由知，
15、ancn2bn对一切nN*均成立,变式4：证明不等式： N*) 证明：(1)当n1时有12，命题显然成立 (2)假设当nk时，命题成立，即 成立 当nk1时， . nk1时，不等式成立由(1)(2)可知命题对所有的正整数都成立,在几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,【例5】 平面上有n个圆，其中任何两圆都相交，任何三圆不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成的区域数为f(n)n2n2. 思路点拨：由nk到nk1时，先确定第k1个圆与其他k个圆的交点个数，再得出第k1个圆的弧线段数量，最后确定平面区域的增加情况 证明：(1)当n1时，一个圆把平面分成两个部分，又f(1)12122，所以n1时，命题成立,(2)假设nk时命题成立，即平面内满足条件的k个圆把平面分成f(k
