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1、1 高中数学必修高中数学必修 5 知识点知识点 第一章、数列第一章、数列 一、基本概念一、基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数 2、数列的项：数列中的每一个数 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列 无穷数列：项数无限的数列 递增数列 ： 从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列 1 0 nn aa 递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列 1 0 nn aa 常数列：各项相等的数列 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 的数列 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式 n ann 5、数列的递推公式：表示任一项与它
2、的前一项（或前几项）间的关系的公式 n a 1n a 二、等差数列二、等差数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差 （2）符号表示： 11 (2)(1) nnnn aad naad n 或 2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则 n a 1 ad 1 1 n aand 通项公式的变形：； nm aanm d nm aa d nm 通项公式特点： 1 () n adnad 是数列成等差数列的充要条件。),为常数，（mkmknan n a 3、等差中项 若三个数，组成等差数列，则称为
3、与的等差中项若，则aAbAab 2 ac b 称为与的等差中项即 a、b、c 成等差数列bac 2 ac b 4、等差数列的基本性质 n a),( Nqpnm其中 （1）。 qpnm aaaaqpnm，则若 （2）dmnaa mn )( （3） mnmnn aaa 2 2 5、等差数列的前项和的公式n 公式：； 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 公式特征：是一个关于 n 且没有常数项的二次函数形式 2 1 () 22 n dd Snan 等差数列的前项和的性质：n 若项数为，则，且， * 2n n 21nnn Sn aa SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇
4、 偶 若项数为，则，且， * 21nn 21 21 nn Sna n SSa 奇偶 1 Sn Sn 奇 偶 （其中，） n Sna 奇 1 n Sna 偶 ，成等差数列 n S 2nn SS 32nn SS 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法：是等差数列）常数）（ Nndaa nn ( 1 n a 中项法：是等差数列)2 21 Nnaaa nnn （ n a 通项公式法：是等差数列),(为常数bkbknan n a 前项和公式法：是等差数列n),( 2 为常数BABnAnSn n a 三、等比数列三、等比数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比
5、等于同一2 个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比 （2）符号表示： 1n n a q a （常数） 2、通项公式 （1） 、若等比数列的首项是，公比是，则 n a 1 aq 1 1 n n aa q （2） 、通项公式的变形：； n m nm aa q n m n m a q a 3、等比中项：在与中插入一个数，使，成等比数列，则称为与的abGaGbGab 等比中项若，则称为与的等比中项注意 ：与的等比中项可能是 2 GabGabab 。G 3 4、等比数列性质 若是等比数列，且（、） ，则； n amnpqmnp * q mnpq aaaa 若是等比数列，且（、） ，则
6、 n a2npqnp * q 2 npq aaa 5、等比数列的前项和的公式： n an （1）公式： 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq （2）公式特点： 1 1(1) 1 nnn n a qkqAAq q s （3）等比数列的前项和的性质：若项数为，则n * 2n n S q S 偶 奇 ，成等比数列（） n n mnm SSqS n S 2nn SS 32nn SS0 n S 6、等比数列判定方法： 定义法：为等比数列； （常数）q a a n n 1 n a 中项法：为等比数列； )0( 2 2 1nnnn aaaa n a 通项公式法：为
7、等比数列；为常数）qkqka n n ,( n a 前项和法：为等比数列。n为常数）（qkqkS n n ,)1 ( n a 四、求通项公式方法四、求通项公式方法 观察、归纳、猜想法求数列通项 应用求数列通项 ) 2 ( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 注意：一分为二或合二为一 累加法：若递推关系式形式为用累加法 1 ( ) nn aaf n 累乘法：若递推关系式形式为用累乘法 1 ( ) nn aa f n 转化为等差法：若递推关系式形式为 （m、p 为常数） 1 n n n m a pm a a 4 转化为等比法：若递推关系式形式为。qpaa nn 1 五、求前项和公式方法五
8、、求前项和公式方法n 公式法：若数列为等差或等比数列直接应用求和公式 倒序相加法：若数列首尾两项和有规律 乘比错位相加法：通项公式为（其中为等差数列，为等比数列） nnn ca b n a n b 裂相求和法：通项公式为（为等差数列） 11 11 () n nnnn kk b a ad aa n a 分组求和 第二章、解三角形第二章、解三角形 一、正弦定理一、正弦定理 1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外 CAabcACRCA 接圆的半径，则有 2 sinsinsin abc R C A 2、正弦定理的变形公式：，； 2 sinaRA2 sinbR2 sincRC ，； sin 2
9、a R Asin 2 b R sin 2 c C R : :sin:sin:sina b cCA sinsinsinsinsinsin abcabc CC AA 3、定理应用范围： （1）已知两边及一边对角 （2）已知两角及一边 4、已知两边及一边对角解的个数判断 A90A90 Ab一解一解一解一解一解一解 ab无解无解无解无解一解一解 absinA两解两解 absinA一解一解ab无解无解无解无解 absinA无解无解 5 b a b a b a b a a 一 一 一 a,b一 A 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ab CH=bsinAab a=CH=bsi
10、nA aBabsinAsinB 3、 三角形内角和定理 , , - 22222 A B CA BC A B C Cos 22 A BC Sin CosCos C Cos 22 A BC Sin A BSin CA BSin 4、二倍角公式： 2tan 22tan 2 2 1 tan 2222 221 1 2 SinSin Cos CosCosSinCosSin ； 6 5、两角的和与差公式： , S( ) , S( ) , C () , C( ) tantan tan , T 1 tantan () tan SinSinCosCosSin SinSinCosCosSin CosCosCosSi
11、nSin CosCos CosSinSin tantan , T 1 tantan () 6、辅助角公式 22 ,tan b yaSinbCosab Sin a （其中） 第三章、不等式第三章、不等式 一、比较大小及不等式性质一、比较大小及不等式性质 1、比较大小依据：； 0abab0abab0abab 2、比较大小方法：作差法：步骤作差 变形（常用方法：通分、配方、分子、分母有 理化、因式分解等）定号 作商法 ： 0,01,1,1 aaa abababab bbb 当时 3、不等式的性质： ； abba ,ab bcac ；，； abacbc ,0ab cacbc,0ab cacbc ； ,
12、ab cdacbd0,0abcdacbd ； 0,1 nn ababnn0,1 nn abab nn 二、一元二次不等式解法：二、一元二次不等式解法： 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式 2 解法步骤：确定对应一元二次方程的判别式及根 作出对应一元二次函数的图像 由函数图象写出相应不等式的解集 7 2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式 2 4bac 0 0 0 二次函数 2 yaxbxc 的图象0a 一元二次方程 2 axbx 的根0c 0a 有两个相异实数根 1,2 2 b x a 12 xx 有两个相等实数根 12 2 b x
13、x a 没有实数根 2 0axbxc 0a 12 x xxxx或 2 b x x a R 一元二次 不等式的 解集 2 0axbxc 0a 12 x xxx 3、一元二次不等式恒成立问题 恒成立条件 2 0axbxc 0a 0 2 40 a bac 恒成立条件 2 0axbxc 0a 2 0 40 a ac b 4、含参一元二次不等式解法 分类讨论：二次项系数相应方程是否有根两根的大小 5、一元二次方程实根分布 分析思路： 求根公式法： 22 44 , 12 22 bacbac bb xx aa 韦达定理法：判别式两根之和两根之积 函数图象法：判别式对称轴位置区间端点函数值 基本类型与相应方法
14、： 设 ，则方程的实根分布的基本类型及相应方法如下表：)0()( 2 acbxaxxf0)(xf 8 根的情况a0 时图a0 时图充要条件 两个根均 小于 m m a b maf 2 0)( 0 0)( 0 0 21 21 mxmx mxmx 两个根都 大于 n n a b naf 2 0)( 0 0)( 0 0 21 21 nxnx nxnx 一个大于 m，另一个 小于 m 的 根 (x1-m)(x2-m)0af(m)0 在区间 (m,n)内 有且仅有 一个根 f(m)f(n)0 在区间 (m,n)之 外有两个 根 0)( 0)( naf maf 在区间 (m,n)内 有两个实 根 0)(
15、0)( 2 0 naf maf n a b m 三、基本不等式三、基本不等式 1、是两个正数， 则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几ab 2 ab ababab 何平均数 9 2、均值不等式定理： 若，则，即0a 0b 2abab 2 ab ab 3、常用的基本不等式：； 22 2,abab a bR 22 , 2 ab aba bR ； 2 0,0 2 ab abab 2 22 , 22 abab a bR 4、基本不等式求最值：设、都为正数，则有xy （1）若（和为定值） ，则当时，积取得最大值xysxyxy 2 4 s （2）若（积为定值） ，则当时，和取得最小值xypxyxy2p 注意：利用基本不等式求最值条件： 正 定 相等 5、对号函数图像性质 的图像与性质：( ,0) b yaxa b x （1）定义域：； |0 x x （2）值域：； |2,2y yabyab 或 （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间
