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1、1 平面向量平面向量 一向量有关概念一向量有关概念： 1向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向 量就是有向线段 不能说向 量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：如： 2零向量零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的；0 3单位向量单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；AB | AB AB 4相等向量相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量（也叫共线向量）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
2、、叫做平行向量，记作：，规定零向规定零向abab 量和任何向量平行量和任何向量平行。 提醒提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包 含两条直线重合； 平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有)；0 三点共线共线；ABC、 、AB AC 、 6相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如如aa 下列命题：（1）若，则。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若ab ab ， 则是平行四边形。（4） 若是平行四边形， 则。（5） 若，
3、 则。ABDC ABCDABCDABDC ,ab bc ac （6）若，则。其中正确的是_（答：（4） （5） ）/ , /ab bc /ac 二向量的表示方法二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；abc 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的xyij 任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表a,axiy jx y , x yaa, x ya 示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向
4、量的基本定理三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有 一对实数、，使 a=e1e2。如如 1 2 1 2 （1）（1）若，则_（答：） ；(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c c 13 22 ab （2）（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. 12 (0,0),(1, 2)ee 12 ( 1,2),(5,7)ee C. D. 12 (3,5),(6,10)ee 12 13 (2, 3),( ,) 24 ee （答：B） ； （3）（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为,AD BE A
5、BC,BC AC,ADa BEb BC , a b _（答：） ； 24 33 ab （4）（4）已知中，点在边上，且，则的值是_ABCDBC DBCD2 ACsABrCDsr （答：0） 四实数与向量的积四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：aa 当0 时，的方向与的方向相同，当0 时，的方向与的方向相反， 1, 2aa aaaa 当0 时，注意注意：0。0a a 2 五平面向量的数量积五平面向量的数量积： 1两个向量的夹角两个向量的夹角：对于非零向量，作，ab,OAa OBb AOB 称为向量，的夹角， 当0 时，同向， 当时，反向， 当时，0ababa
6、b 2 a b 垂直。 2平面向量的数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与ab|cosa b ab 的数量积（或内积或点积） ，记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，a ba bcosa b 注意数量积是一个实数，不再是一个向量注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如如 （1）（1）已知，与的夹角为，则等于_ 11 (1, ),(0,), 22 abcakb dab c d 4 k （答：1） ； （2）（2）已知，则等于_2,5,3aba b ab （答：） ；23 （3）（3）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_, a b abab 与aab
7、（答：）30 3在上的投影在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于 0。如如ba|cosb 已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）3| a5| b12 ba a b 5 12 4的几何意义4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。a ba ba|a ba 5向量数量积的性质向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：ab ；0aba b 当，同向时， 特别地，； 当与反向时，aba ba b 2 22 ,aa aaaa aba b ；非零向量，夹角的计算公式：；。如如a b abcos a b a b | |a ba b （1）（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_)2
8、,( a)2 ,3( b a b （答：或且） ； 4 3 0 1 3 六向量的运算六向量的运算： 1几何运算几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量 加 法 还 可 利 用 “ 三 角 形 法 则 ” ： 设， 那 么 向 量叫 做与的 和 ， 即,ABa BCb AC a b ；abABBCAC 向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点,ABa ACbabABACCA 那么 指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如如 （1）（1）化简：_；_；_ABBCCD ABADDC ()()ABCDACBD
9、 （答：；） ；AD CB 0 （2）（2）若正方形的边长为 1，则_ABCD,ABa BCb ACc |abc （答：） ；2 2 2坐标运算坐标运算：设，则： 1122 ( ,),(,)ax ybxy 向量的加减法运算向量的加减法运算：，。如如 12 (abxx 12) yy （1）（1）已知点，若，则当_时，点 P 在第一、(2,3), (5,4)AB(7,10)C()APABACR 3 三象限的角平分线上 （答：） ； 1 2 （2）（2）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐(1,1)A 123 (3,4),(2, 5),(3,1)FFF 123 FFFF 标是 （答：（9,1） ）
10、实数与向量的积实数与向量的积：。 1111 ,ax yxy 若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段 1122 ( ,), (,)A x yB xy 2121 ,ABxx yy 的终点坐标减去起点坐标。如如 设，且，则 C、D 的坐标分别是_(2,3), ( 1,5)AB 1 3 ACAB 3ADAB （答：） ； 11 (1,),( 7,9) 3 平面向量数量积平面向量数量积：。如如 1212 a bx xy y 已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）,若 x，求向量、的夹角；abc 3 ac 向量的模向量的模：。如如 2 22222 |,|axya
11、axy 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_ （答：） ； , a b 60|3 |ab 13 两点间的距离两点间的距离：若，则。 1122 ,A x yB xy 22 2121 |ABxxyy 七向量的运算律七向量的运算律： 1交换律：，；abba aa a bb a 2结合律：，； ,abcabc abcabc aba bab 3分配律：，。 ,aaaabab abca cb c 如如 下列命题中： ； ； cabacba)( cbacba)()( 2 ()ab 2 |a ； 若，则或；若则； 2 2| |abb 0 ba0 a0 b,a bc b ac 2 2 aa ；。其中正确的是_
12、（答：） 2 a bb a a 22 2 ()a bab 22 2 ()2abaa bb 提醒：（1）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同 乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切 记两向量不能相除(相约) 切 记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？cbacba)()( 八向量平行(共线)的充要条件八向量平行(共线)的充要条件：0。如如/abab 22 ()(|)a ba b 1212 x yy x (1)(1
13、)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2） ；( ,1),(4, )axbx xa b （2）（2）已知，且，则 x_（答：4） ；(1,1),(4, )abx 2uab 2vab /uv （3）（3）设，则 k_时，A,B,C 共线（答：2 或 11）( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk 九向量垂直的充要条件九向量垂直的充要条件： .0| |aba babab 1212 0 x xy y 如如 (1)(1)已知，若，则 （答：） ；( 1,2),(3,)OAOBm OAOB m 3 2 （2）（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，则点 B 的坐标是_ 90B （答：(1,3)或（3，1） ） ； （3）（3）已知向量，且，则的坐标是_ （答：）( , ),na b nm nm m ( ,)(, )bab a或
