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1、）西北师范大学本科毕业论文（设计）题 目 低秩矩阵的特征多项式和最小多项式 姓 名 学 号 专业年级 数学与应用数学 2006级 指导教师 职 称 2009年4月20日17目 录绪论(1) 1 相关概念与记号(1)1.1 概念(1)1.2 本文中相关记号(1)2 矩阵的满秩分解(2)3 降阶求特征多项式(3)4 降阶求最小多项式(5)5 最小多项式的几种求法及比较(9)5.1 根据特征多项式求最小多项式(9)5.2 根据不变因子求最小多项式 (10)5.3 根据Jordan标准形求最小多项式(11)5.4 根据线性相关求最小多项式 (12)5.5 最小多项式求法的综合比较 (13)6 最小多项
2、式的简单应用 (14)参考文献 (16)低秩矩阵的特征多项式与最小多项式摘 要矩阵的特征多项式和最小多项式在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的作用，因此如何求矩阵的特征多项式和最小多项式极为重要本文先从目前已有的矩阵的满秩分解入手，通过特殊情况下的满秩分解求出矩阵的特征多项式，再推广到一般，从而得到了矩阵特征多项式的一种降阶求法接着根据最小多项式的定义和矩阵乘法的原则，同样得到了一种求最小多项式的降阶公式，这样在很大程度上简化了求低秩矩阵的特征多项式和最小多项式的计算量最后，本文列举了目前已有的四种最小多项式的四种求法，并结合本文的最小多项式的求法作了一个综合的比较【关键词
3、】矩阵 满秩分解 特征多项式 最小多项式The Characteristic Polynomial and the Minimal Polynomialof the Low-rank MatrixAbstractThe characteristic polynomial and the minimal polynomial play a great role in the matrix similarity, Jordan canonical form, matrix function, matrix equation. So how to seek them is very importan
4、t. Firstly, from the full-rank decomposition of the matrix, we can get the characteristic polynomial in the special case of full-rank decomposition, and it is the same in the general case, so we get a method of seeking characteristic polynomial by reducing the order of the matrix. Then according to
5、the definition of minimal polynomial of matrix and the principle of matrix multiplication, we also get a method of seeking minimal polynomial by reducing the order of the matrix. To a great extent, we have less computation about the characteristic polynomial and the minimal polynomial of the low-ran
6、k matrix. Finally, we list the four exiting methods of seeking the minimal polynomial. Combining with the method of the minimal polynomial in the paper, we make a comprehensive comparison.【Key words】Matrix Full-rank decomposition Characteristic polynomial Minimal polynomial引言矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中的基本概
7、念，它在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数、自动化控制等领域都有重要的作用因此，如何求特征多项式和最小多项式至关重要关于特征多项式，对某些特定的矩阵（如对称矩阵），国内外一些学者研究了一系列求特征多项式的方法关于最小多项式求法的研究，目前主要是采用如下四种方法：第一，根据特征多项式的典型分解求最小多项式；第二，根据特征矩阵的最后一个不变因子求最小多项式；第三，根据标准形求最小多项式；第四，根据线性相关求最小多项式本文从一习题中想到：,分别是和矩阵，有结论=，那么当时，求矩阵的特征多项式可以转化成求一低阶矩阵的特征多项式，这样就得到了求特征多项式的一种降阶求法同样，我们是否也可以求出矩阵与矩阵最小多
8、项式的关系呢？1 相关概念与记号1.1 概念定义 若A是数域上一级矩阵，是一个文字，矩阵 的行列式称为A的特征多项式定义 数域上次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式定义 矩阵的秩等于它的行数的矩阵称为行满秩矩阵定义 矩阵的秩等于它的列数的矩阵称为列满秩矩阵定义 若阶矩阵A的秩为，为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，若有A=BC，则称BC为A的满秩分解1.2 本文中相关记号表示矩阵的最小多项式表示矩阵的特征多项式表示矩阵的秩2 矩阵的满秩分解用矩阵的行列初等变可将矩阵化为标准形=(其中是阶单位矩阵，），那么存在可逆矩阵与，使得，则，就得到了矩阵的分解，我们有如下定理：定理 设阶矩阵
9、的秩为，证明：存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得证明 任一阶矩阵都可通过初等行列变换化为标准形，其中是阶单位矩阵，则存在阶可逆矩阵和，使得，即 （1）由于是由的前列构成的矩阵，设（，）其中与分别是矩阵与（）矩阵，则 （2）而是可逆的，则的前列线性无关，故，即是列满秩矩阵同理，令其中与分别是矩阵与（）矩阵，则 （3）而是可逆的，则的前行线性无关，故，即是行满秩矩阵由（），（2）和（3）可得的满秩分解式 这样，我们就将任一矩阵满秩分解为两个矩阵的乘积3 降阶求特征多项式我们先从满秩分解中的特殊情况=为标准形的时候来求其特征多项式设行满秩矩阵=（，），其中是阶矩阵，则由=得 = =而=，则=这样，当时
10、，求矩阵的特征多项式就转化成求阶的的特征多项式，给出了求特征多项式的一种降阶求法当=为标准形的时候可以降阶求特征多项式，那么不是标准形时是否也可以采用同样的方式降阶求特征多项式呢？引理 相似矩阵具有相同的特征多项式定理 设秩为的阶矩阵的满秩分解为，证明：=证明 由于秩为的矩阵可化为标准形，故存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得 = （4）令矩阵 =(,) （5）其中是阶矩阵用（4）式两边分别左乘（5）式两边得=由引理得= （6）用样，用（5）式两边分别左乘（4）式两边得 =故 = （7） 则由（6）式和（7）得，特征多项式的降阶公式 = (8) （8）中的为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，那么是否对任意
11、的为矩阵，为矩阵，都有=成立呢？推论 对任意的为矩阵，为矩阵，都有=证明 因为=所以= = （9） 又因为=所以= = （10）综合（9）和（10）式有=即=例1 求阶对称矩阵=的特征多项式解 = = =（）4 降阶求最小多项式之前，我们由的满秩分解，找到了的特征多项式与的特征多项式的关系，从而找到了特征多项式的降阶公式那么，由，是否还能发现的最小多项式和的最小多项式之间的关系呢？定理3 设秩为的阶矩阵的满秩分解为，令，那么证明 由于，则=, (11)由于，则是阶矩阵，且对任一多项式, 由（11）式可得多项式与之间的关系式： （12）由(12)式可得的零化多项式与的零化多项式之间的关系： 若，则必有由此可进一步发现的最小多项式与的最小多项式之间的关系令=，则，故有=即是的零化多项式因此，整除，即 （13） 若令=是的特征多项式，则，故有 而，故有
