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1、习题1-1,1.求下列函数的自 然定义域： (1) = J1 7气 (3) y = J3_x + arctan.; r2_vn r v 1,(5) y = log v_f (16 jc2 ). , X1 或 x(| f 4vmv4 2.下歹U各熟中,函数基否相同? 为什么? /(X)= lg与 g(x) = 21gx； (2) y = 2x + 1 x = 2y + 1. -g I sin at I， |x| v 芸 _ 3.设侄(x)= 0 国匹，* W(含)，0(3)，0(一*)， ZZI，一 Af- -r*= 口 ,ET , s，、OCT 4. 歹！J 函 斐攵点扌旨悬 I3_JW1 j
2、*j g 苇* : (1) A = 1 , (-oo, 1); T - tl D w - w 1、 -_ - A i -w - _ m a I - * - (2) y=2x + In x , (0,+8). 角率 珪耳又 AT , AT2 (0, 4-00), 不堂左李殳 Xt O , *云点 -r* A:, TW 25 +当 睥.,-ZATTrf x k = 2kiz H- AZ 右(O , +8),2.设 /(x)= ,1，x 0 v(l-J)= J,3. f (jv) = jc3 jic, 0(x) = sin2x,2X,_rg( (2) /*(siiuv); 3、f( x亠zj、-i/
3、Th u、(a *01 ,4、f ( J 1 _ x). M、J V1- 1 6. /()=号+ 2 m+i) 用卒 w- w = -p- , jhu r = -i , 7 . y = 1-1- cosjv, 0(x) = sin 亏 9 fx) .)； - 1 -+- cos-v = 2 ( 1 sin 2 专)， 8 . y(x) = sinx, f(p(x) = 1 x2, 求(x)及其W义域.，】. 游 . fpx) = 1 x2 = sin p(x) -,2.某人手中持有一年到期的面额为300元和5年到期的面,额为700元的两张票据，银行贴现率为7 %,若去银行进,行次性票据转让，银
4、行所竹的贴现金额是多少？,4.,内可全部啓出，超过1000台时经广告實我后，又可多售,出520台，假定支甘广告费为2500元，试将电冰箱的销,解 由需求函数可得5p = 1000-g,1.火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按 每千克0.15元收费，当超岀50kg时，超重部分按每千 克0.25天，试建立行李收费/(x)(天)与行李重量x (kg),售收入表示为销售量的函数， 8.某商品的成本函数(单位：元)为C = 81+3g,其中q为 该商品的数量 (1) 如果商品的,(2)销量为4时的总利润及平均利润；,9.收音机每台售价为90元,成本为60元厂方为鼓励10.设某商品的成本函数
5、和收入函数分别为,销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每,多订购1台，售价就降低1分，1 旦最1 氐价为每台75元.,(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;,(2)将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数;,N,使当nN时，x“与其极限之差的絶对值小于正数,证 若数列有极限，则由极限性质知极限应是唯一的,当- = 0.001时，求出数N.,要证明%没有极限，只需找到两个子列分别收敛到不同,6.对数列x,J,若limx,limx2jt=a,证明:,5.设数列x有界，又lim儿=0证明：limx,M = o.,3/1 + 1,4/1 1,2.利用数歹U极卩艮的定义证明：(2)
6、lim,- 心 4 1,3/14-1,4m 1,4（3 + 1） 3（4一1）,4（4一 1）,2.指岀下来哪些是天窍小量，哪些是无窍大量,2.指出下来哪些是无穷小量，哪些是无穷大量.,故,6.设x*o时，g(x)是有界量，/(X)是无穷大量，证明：7.设g(X)M(M是I个正的常数),/(X)是无,J(X)土 g(x)是无穷大量.,穿大量.证明：/(x)g(x)是无穷大量.,解 因为当时，g(x)是有界量，是无穷小量，,1.计算下列极限:,x-00,1.计算卞歹!J极F艮：,1.计算下列极限:,9.,1.计算下列极限:,_2,1.计算下列极限E,(9),解,解,解,20,2.,计算下列极限：
7、,1 2.计算下列极限:,x O,3 .辛更,Xc,(4)lim/(x).A(x);,/,n,H,(2),X,解,X,41,=l-(l-l),5,=0.,=3.,lim x-l,3x + 2 .,x2 -+- 1 , O jv 1 , 2 / x , v x,liml+x+x2-3,xtI,lim xcotx; x- 0,lim r (x)= 4.已知 lim /(x) = 4 及 lim g(x) = 1, lim h(x) = 0,1.计算下列极限：（3） lim（2-丄+丄）;,X X2,(2-丄广(3-2) =lim _x_,: ( 16) lim x2- xt-A ). X oo,x
8、e 必,li m( J x ?+ x + .-d x 2 x + !_ ) JVOO,己兰-“牙-计=0,求3的值, x+1 /,1.计:(14) lin x-,（啊而5,xc,h(x), lim x_6x+8 ； a x2-5x+4,6.若 lim,、2 9-2(x 3) + A + 3,1. 讦笄卞列核服： ，-.，-、2, I).,(3)lim|/(x).g(x);,5. 若lim -* = 4,求,x = sin，y / 一諷看,(6)評;,lim X-00,(8) lim x smx xtO x + sin r,2arcsin x.,9,丄 (1) lim(l-x); x-0,n 2
9、 4- 7t n2 4- 2tz,3. ，(x )= ,l(i4)T,(5) (7) lim x0,1 i -1,1)灯,J,（心）；2.计算下列极限：,* x+3, = 1 /I2 4- /17L /,iiH n- n + niz,sin x x 2,LJ1+虫,4i-x),，!既（，洋?+ ,野嘉,/12+ 7L,l + x X,解 lim x-co, IF,2arcSinr = 2lim,3一。,n2 + mi ）,8.冇一笔按年利率6.5%的投资,16年后得到1200元，问 当 初的投 资额为 多少?,匚,解按壕续复利计算公式得20年后的本利和为,xe 065 = 1200,2岫|,妙
10、峨=2（1）四*6抓. 1.当xtO时，X-/与x2-x3相比，哪一个是高阶天,3.当 x- 0 时，-Ja + x3 - -Ja (or 0)与 x相比*几阶无咬小.,所以, x = 1200e M65 =746(元).,2.当 X 1 时， 等价？ 4 .当x O曰寸，,夭互小1-A与*（1一*2）是星同阶?地書,(slnx + * ? cos,+ cos x) ln(l -4- x),爾 . lim 齐 + *二J* = lim (i+x3) -_g_- 5.利用等价无穷小性质求下列极限： (1) lim arctan 3x. i jo 5x ， 5.弛用等价无夯刁、4生质求卞歹！J极正
11、艮： (sinx3)tanx 外 (3) lim-; xtO 1 COSX2 . (sin x3) tan x (sinx3)tanx 博 lim 1-= lim - 牙 工_0 1 cosx2 2 sin2 T sin*3 tanx = lim *3 = 2.1,-V 為率 Iim(l + cos xy = 2 , W JC O 曰寸. 5. 年刁、艮： 1ti(1 -+- 3-vsin jv) (2) lim - ； mo tame 2 x O 3 jc sin x O x 2 O . 5.利用等价天窍小性质求下列极限:,H = lim 3xsinx,JV O,=3 lim Gnx = 3
12、 x 一 O X,5. 歹戸貝二5.刊用等价夭务J、，I生辰求卞歹U极F艮：,(5) lim V + xsinx |jm 5x + sin2x-2.r3 o x aictan _X7 xo tanx+ 4x2,X1, /(x) =,(2) /W= sil, /(x) =,3.函数 /(x)=,X,间断点，则请补充或改变函数的定义使回连续,:),1,初,在X处的左右连续性,安毎/(X),x2sin , x 0 X ；,/， _ 11_/ .,(2) /(%)=,11,解(2)显见 ,(X)在(-1,0, (-8,-1), (1, +8)上都连续.,5+511 2x2 -1X1,X,ex, x0,
13、sinx n-,，*0,4.判折下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去,在闭区间|0,2|上是否连续？间折点，则请补充或改变函数的定义使它连续 3-X, 1X2 v =一r, x = -2;,试作出/(X)的图形， x = 1 x = 2； 解函数/(x)在0,1)U(1,2|连续,在E处,因为 ,im x-1 _limx+i_ l；m /Yvl-lim .i_3x+2 -ix-2 ，,4.判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去 |,(4) J=cos2p 1=0.,用M = 1 宣 m,L研究下列函数的连续性，并画出函数的图形.,x2, 0xl 2-x, 1xM2,2.下列函
14、数/(x)在x = O处是否连续？为什么？,曰 R营g(x) x= O o , 3 O,解 定义域是(x+3)(x-2)/0,即在-3和*尹2.,X,X,解,VO -F 1 +,lim In (2cos2x) = In(2cosy),8.庁生茎夂 g(x) jv = O 至灸, g(o) = O , 美口 学式lie淄 y*(x)忐 X = O .,T,m lim a/vZivZ 2.求下列极限：(2) lim (sin2)3;,lim - Jx+ -4- 1,(3) lim In(2cos2x); T,1.求函数y =+3x5-3的连续区间,并求极限2.求下列极限:,H+x-6 lim/(x
15、), lim/(x), lim/(x). HO XT-3 x-2,lim (X + _,(J x + 1 + ),lim 1,内至少有个实根,v=x4-3x2+7x-10,证,=-血,证记/（x） = x5-3x-1,显然/（X）在11,2上连续.证令/（x） = sinx+x+l,则/（x）在卜三,上连续;,5.证明曲y = x4-3x2 + 7x-10在x = 1与x = 2之间至6,设f（x）=ex-l,求证在区间（0,2）内至少有点命使 少与*轴有-个交点, 时。-2 = *（）,（6） lim 些顼. v_0 n”，1 I 2 ,、 c 4.证明方程 sinx+x+l = 0 在I,3.证明方程x5-3x = 1至少有一个根介于1和2之间 2 2,2.求下列极限：（5） .呻n半;, v , ， * ,， 、 / v c i-w 丄 / ra ci 亠,7.若/在上连续,gfx“b,则8设加在値加上连续,且刖加,证明:在験 在X, x上必冇S,使 上至少存在-点g,使f（g） = f（g+a）. /（&） = ）* （心）+ *./（x,） 证由题设，p（x）=/（x+a）-/（x）也是|0/
