复杂图形的比例与面积-（学科教研组编写）-（最新版-已修订）

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1、“华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 1 页 复杂图形的比例与面积复杂图形的比例与面积 基础知识： 1.三角形面积由两个因素决定：底和高 两个三角形，底相等，面积比等于高的比； 两个三角形，高相等，面积比等于底的比。 2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， （1）； （2）； （3）。 3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系： （1）左、右部分的面积相等，即S3S4； （2）S1S2S3S4 4.燕尾定理： 在三角形中，AD，相交于同一点，那么. 例 1.图中三角形ABC的面积是 180 平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的 3 倍， EF的 “华杯赛”专题讲座 “

2、华杯赛”专题讲座 第 2 页 长是BF长的 3 倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米? 答疑编号 505721470101 【答案】22.5 【解答】ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比， 有,所以18090（平方厘米）. 同理有（平方厘米）， 3022.5（平方厘米）. 即三角形AEF的面积是 22.5 平方厘米. 例 2.如图 1， 5 个正方形拼在一起， 图中三角形ABC部分的面积是 60， 则正方形的边长是. 答疑编号 505721470102 【答案】10 【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是 3:2，因此 三角形BCD的面积是.于是三角形ACD

3、的面积是 6040100. 注意ACD的底边是小正方形边长的 2 倍，而高就是小正方形的边长，所以 它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是 100，所以小正方形的边长 就是 10（因为 1010100）. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 3 页 例 3.如图 2，在 15 个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是 120（其中C是大长方形 的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是. 答疑编号 505721470103 【答案】10 【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是 32， 所以三角形BCD的面积是，那么三角形ABD的面积就

4、是 12080200。 三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、 三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因 此每个小正方形的面积是 2002100，那么边长为 10。 例 4.如图，四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个 小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷.那么 4 个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷? 答疑编号 505721470104 【答案】21 【解答】 ,所以，三角形ABO的面积是 18 公顷， 三角形BOC的面积是 21 公顷.所以，最大的三角形的面积为 21 公顷. “华杯

5、赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 4 页 例 5.已知ABCD是一个梯形，BO3OD，AD4，SABO12，则梯形的高是多少？ 梯形的下底BC是多少？ 答疑编号 505721470105 【答案】12 【解答】 由于ABO和AOD是等高的三角形， 并且BO3OD， 可得SABO3SAOD， 因此SAOD4， 这样SABD12416。 换一个角度去观察钝角三角形ABD， 将AD 作为它的底，将B作为它的顶点。从而根据SABD16 和AD4 可知ABD在底 边AD上的高为 16248，而这个高也是梯形的高。 由于ABC和DBC是同底等高的三角形， 所以SABCSDBC ， 从而SABO SDO

6、C12。由于DOC和OBC是等高的三角形，并且BO3OD，可得SOBC 3SDOC，因此SOBC36，这样SDBC123648。 下面可以用两种方法去求BC的长度，如果把AD看成ABD的底边，把BC 看成DBC的底边，那么ABD和DBC是等高的，由于SDBC是SABD的 3 倍， 所以BC3AD，从而BC12。 或者可以利用梯形面积的计算公式去求BC的长度， 由于梯形的面积412 123664，梯形的高为 8，梯形的上底AD4， 于是下底BC6428412。 例 6.如图，ABCD是梯形，三角形ADE面积是 1.8，三角形ABF的面积是 9，三角形BCF的面积 是 27.那么阴影部分面积是多少

7、？ 答疑编号 505721470106 【答案】4.8 【解答】设ADF的面积为“上”，BCF的面积为“下”， ABF的面积为“左”，DCF的面积为“右”. 左右9；上下左右9981，而下27，所以上81273. ADE的面积为 1.8，那么AEF的面积为 1.2， “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 5 页 则EF：DF：1.2：30.4. CEF与CDF的面积比也为EF与DF的比， 所以有 SACE0.40.4（39）4.8. 即阴影部分面积为 4.8. 例 7.如图，长方形ABCD的面积是 2 平方厘米，EC2DE，F是DG的中点.阴影部分的面积是多 少平方厘米? 答疑编号 50

8、5721470107 【答案】 【解答】如下图，连接FC，DBF、BFG的面积相等，设为x平方厘米， FGC、DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么DEF的面积为y平方 厘米. 2x2y1，xyl. 所以有. 比较、式，式左边比式左边多 2x，式右边比式右边大 0.5， 有 2x0.5，即x0.25,y0.25. 而阴影部分面积为 yy0.25平方厘米. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 6 页 例 8.如图，正方形ABCD的边长是 12，BFCE4，则四边形ABOD的面积是. 答疑编号 505721470108 【答案】 【解答】如图，假设OBF和OEC的面积分别为x和y，那么OC

9、F和OED的 面积就分别为 2x和 2y.根据BEC和OCF的面积，可以列方程组得： 化简即得： 解得，. 所以四边形ABOD的面积为： 1212-. 例 1.已知EF2BF，AD3BD，三角形ABC的面积为 36，那么四边形ADFE的面积是多少？ 分析：四边形ADFE是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。做辅助线连接D和E，将 四边形ADFE分成 2 个三角形ADE和DFE，三角形的面积就比较好求了。请大家想一想，除了公 式以外，还可以利用什么方法去求三角形的面积？ 题目中给出的条件是线段与线段之间的关系，一定要将线段与线段的关系转化成图形与图形的 关系，这样才有助于计算面积。比如：由

10、EF2BF，可知SDFE2SDBF。这是连接D和E做辅助线 的另外一个优点，它将线段之间的倍数关系转化成了三角形面积之间的倍数关系，这就使得线段与 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 7 页 图形相互联系了起来。 答疑编号 505721470201 【答案】11 【解答】由EF2BF，可知SDFE2SDBF，SEFC2SFBC，从而SEDC2SDBC。 由于AD3BD， 可知SADC3SDBC。 如果设SDBC “1”， 那么SEDC “2”，SADC “3”，所以SADE“1”，SABC“4”。由于大三角形ABC的面积为 36，所 以SADE“1”3649。 下面求DFE的面积。 由

11、于AD3BD， 可得SADE3SDBE， 因此SDBE93 3。 因为SDFE2SDBF， 而SDFESDBFSDBE， 所以SDFE3322。 由SADE 9，SDFE2，可知四边形ADFE的面积是 11。 总结：在直线形计算的问题中，如果碰到一个不规则的图形，通常需 要添加辅助线将它分割成若干个可以计算面积的图形，例如分割成三角形、平 行四边形或者梯形。如果题目中的条件给出了线段与线段之间关系，也可以利 用添加辅助线的方法将线段与三角形（或者其它的图形）联系起来，这样线段 之间的关系就变成了三角形（或者其他图形）之间的关系，从而有助于计算图 形的面积。 例 2.如图 1，在 rABC中，D

12、C 3BD，rABC的面积是 84，DEEA，则阴影部分的面积是. 答疑编号 505721470202 【答案】36 【解答】连结DF，因为DEEA，所以三角形ACE的面积与三角形CDE的面积相 “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 8 页 等，三角形AEF的面积与三角形DEF的面积相等.因此阴影部分的面积等于三角 形CDF的面积，也等于三角形ACF的面积. 又因为CD3BD，所以三角形DEF的面积是三角形CDF面积的，因此阴 影部分的面积. 例 3.如图 1，已知三角形ABC的面积为 1，AFFD，BF3FE.则阴影部分的面积是. 答疑编号 505721470203 【答案】97.5

13、【解答】连DE. 由BF3FE3 由AFFD 记2a，则6a，SABDE8a 而，即 从而阴影部分的面积是. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 9 页 例 4.如图，ABC的面积是 1，且，则OAB的面积是. 答疑编号 505721470204 【答案】 【解答】 OAB的面积是. 例 5.在长方形ABCD中，E是AD的中点，F在CE上且EFFC31， 已知三角形BFD的面积是 60， 则长方形ABCD的面积是. 答疑编号 505721470205 【答案】192 【解答】 OEOC=12， EFFC31, 三角形BED的面积三角形BFD的面积=, 因为三角形BFD的面积是 60，所

14、以，三角形BED的面积是 48， 则长方形ABCD的面积是 484192. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 10 页 例 6.如图，梯形ABCD外有一点E，使得ABE、ADE和EDC的面积相等. （1） 证明：ABF和AFD的面积相等； （2） 证明：ADF和AHD的面积相等； （3） 如果已知ABF和DGH的面积分别为 3 和 1，求梯形ABCD的面积. 答疑编号 505721470206 【答案】18 【解答】（1）证明 ： 因为ABE与ADE都是以AE为底且面积相等，所以ABE 在边AE上的高与ADE在边AE上的高相等. 因为ABF与AFD同底（AF）等高，所以ABF与AFD的面积相等。 （2）证明：由（1）同理，AHD与HDC面积相等，所以ADF是ABD 面积的一半，AHD是ACD面积的一半. 因为梯形ABCD中，ABD与ACD的面积相等，所以ADF和AHD面积相 等. （3）解：由ABF的面积是 3，可得ADF、HDC面积都是 3，所以AGD 的面积是 3-12. 因为ABG