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1、- 1 - 18.2 勾股定理的逆定理 达标训练18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础一、基础巩固巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）. 图 1824 图 1825 图 1826 3.如图 1825， 以 RtABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S1、 S2、 S3， 且
2、S1=4， S2=8，则 AB 的长为_. 4.如图 1826， 已知正方形 ABCD 的边长为 4， E 为 AB 中点， F 为 AD 上的一点， 且 AF= AD，试判断EFC 的形状. 4 1 5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量 得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图 1827 6.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1） ，求证：ABC 是直角三角形. - 2 - 二、综合二、综合应用应用 7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三边长，A1B1C1的三边长
3、分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1 是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图 1828，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD. 求证：ABC 是直角三角形. 图 1828 9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1） ，B（2，4） ， OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图 1829 10.阅读下列解题过程 ： 已知 a、 b、 c 为ABC 的三边， 且满足 a2c2b2c2=a4b4， 试判断ABC 的形状. 解 ： a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B
4、)c2=a2+b2， （C)ABC 是直 角三角形. 问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_； 错误的原因是_ ； 本题的正确结论是_ _. - 3 - 11.已知 ： 在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断ABC 的形状. 12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形 ABCD 的面积. 图 18210 - 4 - 参考答案参考答案 一、基础一、基础巩固巩固 1.思路分析：思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一
5、个角是直角或两锐角互 余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半. 由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D. 2.解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E, 则DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形，AB=DE.D=120，CDE=30. 又在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm. 根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.AB= cm.35510 22 35510 22 3.思路分析 ：思路分析 ： 因为ABC 是 Rt， 所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3， 所以 S3=12， 因为 S3=A
6、B2, 所以 AB=.3212 3 S 4.思路分析：思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：E 为 AB 中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20. 同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. CE2+EF2=CF2,EFC 是以CEF 为直角的直角三角形. 5.思路分析：思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB 和DBC 是否为直角三角形 即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了. 解：在ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD 为
7、直角三角形，A =90. 在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2. 所以BDC 是直角三角形，CDB =90.因此这个零件符合要求. 6.思路分析：思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可. 证明：k2+1k21,k2+12k=(k1)20,即 k2+12k，k2+1 是最长边. (k21)2+(2k )2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形. 二、综合二、综合应用应用 7.思路分析：思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直 角三角形（例 2 已
8、证）. - 5 - 8.思路分析：思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可. 证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC 是直角三角形. 9.思路分析：思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、AB、OB 的长度，再利用勾股定理 的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可. 解： OA2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20, AB2=AC2+BC2=12+32=10, OA2+AB2=OB2. OAB 是以
9、OB 为斜边的等腰直角三角形 . 10.思路分析：思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在 忽视了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面. 答案：答案：(B) 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC 是等腰三角形；ABC 是 等腰三角形或直角三角形. 11.思路分析 ：思路分析 ： （1） 移项， 配成三个完全平方 ； (2)三个非负数的和为0， 则都为0； (3)已知a、 b、 c， 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c226c+169=0, 配方并化简得,(a
10、5)2+(b12)2+(c13)2=0. (a5)20,(b12)20,(c13)20.a5=0,b12=0,c13=0. 解得 a=5,b=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形. 12.思路分析：思路分析：（1）作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA） ； (2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为 直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. 解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）, DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3. DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形. 又EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2, BDA 是直角三角形. 它们的面积分别为 SBDA=34=6;SDBC=64=12. 2 1 2 1 S四边形 ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18. - 6 -
