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1、“华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 1 页 包含与排除包含与排除 引子：从 7 本不同的数学书和 8 本不同的语文书中，选出 6 本书，不能全是同一种的书，那么有 多少种不同的选法？ 用前面学的知识能解决吗？ 还有别的方法吗？ 总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量. 例 1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种 选课的方法？ 答疑编号 5721080101 【答案】50（种） 【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其 中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学
2、 1 门.所以符合题意的选课方 法一共有种. 例 2.从 4 台不同型号的 TCL 电视机和 5 台不同型号的 Haier 电视机中任意取出 3 台,其中至少 要有 TCL 与 Haier 电视机各 1 台，不同的取法共有多少种? 答疑编号 5721080102 【答案】70（种） 【解答】 9 台不同的电视，随意选取 3 台，一共有种方法.其中包括只选取 Haier 的方法一共 种，还包括只选取 TCL 的方法一共种.所以符合题意的方法一共有 84-10-4=70 种. 例 3.7 个同学站成一排，要求其中的甲不排头，乙不排尾，有多少种排法? 思考：答案是吗？为什么？ 答疑编号 572108
3、0103 【答案】3720（种） 【解答】7 个同学随意排列，共有种排法，若甲排在头，则剩下的 6 个同学全排列，一共有 种排法，同理，若乙排在尾，一共有种排法，若同时满足甲在排头、乙在排尾，共有种排 法，根据容斥原理，符合题意的排法共有种. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 2 页 例 4.板报组有 10 名同学， 每个人至少擅长绘画或写文章中的一种， 已知其中 7 个人擅长绘画， 5 个人擅长写文章，要从中选出两个人担任组长，要求其中既有擅长绘画的也有擅长写文章的，那么 有多少种选组长的方法？ 如果要从中选出两名同学去参赛，分别参加绘画比赛和作文比赛，那么有多少种参赛方法？ 答疑
4、编号 5721080104 【答案】32（种） 【解答】因为 10 名同学中 7 个人擅长绘画，5 个人擅长写文章，所以既擅长绘画又擅长写文章 的有 5710=2 个人，所以只擅长绘画的有 5 个人，只擅长写文章的有 3 个人, 选组长可以分为三类： 第一类：先从擅长绘画的人中选 1 个，再从剩下的人中选 1 个，共有 55=25 种选法； 第二类：从既擅长绘画又擅长写文章的 2 个人选 1 个，再从擅长写文章的 3 个人中选 1 个，共 有 23=6 种选法； 第三类：选 2 个既擅长绘画又擅长写文章的，共有 1 种选法； 综合共有 256+1=32 种. 例 5.一次考试共有A、B、C三道
5、题， 一共有 100 个人参加了这次考试.其中， 答对A题的有 50 人， 答对B题的有 60 人， 答对C题的有 20 人.已知答对C题的人在A、B两道题中至少还答对了一道题， 且只答对A题的有 24 人， 只答对A题和B题的有 10 人， 还有 10 个人A、B均未答对.那么有_ 个人只答对了B题. 答疑编号 5721080105 【答案】36（人） 【解答】因为 100 人中有 10 人A、B两题均未答对，所以有 90 人至少答对A，B中的一道. 又因为 50 人答对A题，60 人答对B题，所以至少答对A、B两题的有 506090=20 人.即答 对AB两题或答对ABC三题的人合起来有
6、20 个.而只答对AB两题的人有 10 个， 所以ABC三个题全答 对的人有 2010=10 个. 由于有 24 人只答对A题， 所以还有 5024=26 人答对A题和至少另外一道题.这 26 人答对的题 目只有 3 种可能：AB、AC和ABC.由上面的结论知只答对AC两题的应该有 2620=6 个人. 由于答对C的人在A、B两题中至少答对一道， 所以答对C的 20 个人答对的题目也只有三种可能 ： AC、BC和ABC.那么只答对BC两题的有 20610=4 人. 现在已知答对AB两题的有 10 人，答对BC两题的有 4 人，答对ABC的有 10 人，而至少答对B 一个题目的一共有 60 人，
7、所以只答对B一个题的有 6010410=36 人. 例 6.某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务， 如果要求至少有 1 名女生， 那么不同的选派方案有 种. 答疑编号 5721080106 【答案】14（种） 【解答】6 个人中选 4 个，共有种选法，选 4 个男生，共有种选法，所以符合题意的选 法共有种. “华杯赛”专题讲座 “华杯赛”专题讲座 第 3 页 例 7.从 6 双手套中取出 4 只，则至少取出一双的方法有 种. 答疑编号 5721080107 【答案】255（只） 【解答】有 6 双手套，即 12 只，从 12 只中任选 4 只，共有种，若选出的 4
8、 只均不同双， 则分步进行，第一步，从 6 双中选出 4 双，共有种；第二步，在选出的 4 双中分别选出左手或右 手，共有，根据乘法原理：若选出的 4 只均不同双的选法共有 种，所以符合题意的选法共 有种. 例 8.在 44 的方格表里写上两个A和两个B（每个方格里至多写一个字母）， 那么相同字母既 不同行也不同列的写法有多少种？ 答疑编号 5721080108 【答案】3960（种） 【解答】写入两个A既不同行也不同列的写法共有种，同理写入两个B既不同 行也不同列的写法共有种，依次写入A、B，共有种写法. 若A、B写入同一个方格中，可以分为两类考虑， 第一类：A、B有两个格子均重合，共有 72 种写法； 第二类，A、B中有一个格子重合，共有种写法； 所以若A、B写入同一个方格中共有种写法， 综上符合题意的共有种写法.
