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1、高三数学总复习三角函数 高中数学第四章-三角函数 考试内容：考试内容： 角的概念的推广弧度制 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图 像和性质已知三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求：考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三 角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函
2、数与最小正周期的意义 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式 ； 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、的物理意义 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinxarc-cosxarctanx 表示 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 （8） “同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1” 04. 三角函数三角
3、函数三角函数三角函数 知识要点知识要点知识要点知识要点 1. 与（ 0 360） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ） ： Zkk,360| 终边在 x 轴上的角的集合： Zkk,180| 终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180| 终边在坐标轴上的角的集合： Zkk,90| 终边在 y=x 轴上的角的集合： Zkk,45180| 终边在轴上的角的集合：xyZkk,45180| 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：k 360 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系： 180360 k 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k 1
4、80 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 90360k y x SINCOS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1 2 3 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx 高三数学总复习三角函数 2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad57.30=5718 10.01745 180 180 （rad） 3、弧长公式：. 扇形面积公式： rl| 2 1
5、1 | | 22 slrr 扇形 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于 原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 ； r y sin ； ； ； ；. . r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 、 、 、 、 、 、 、 、 、 - - - - -+ + + + + - + 、 、 、 、 、 oo o x y x y x y 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx)(xfRxx| cosx)
6、(xfRxx| tanx)(xf ZkkxRxx, 2 1 |且 cotx)(xfZkkxRxx,|且 secx)(xf ZkkxRxx, 2 1 |且 cscx)(xfZkkxRxx,|且 8、同角三角函数的基本关系式： tan cos sin cot sin cos 1cottan 1sincsc1cossec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9、诱导公式： r o x y a的 的 的 P、 x,y) T M A O P x y 高三数学总复习三角函数 2 k 把的三角函数化为 的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本
7、关系 公式组二公式组二 公式组三公式组三 xxk xxk xxk xxk cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( 公式组四公式组四 公式组五公式组五 公式组六公式组六 xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(
8、（二）角与角之间的互换 公式组一公式组一 公式组二公式组二 sinsincoscos)cos(cossin22sin sinsincoscos)cos( 2222 sin211cos2sincos2cos sincoscossin)sin( 2 tan1 tan2 2tan sincoscossin)sin( 2 cos1 2 sin tantan1 tantan )tan( 2 cos1 2 cos tantan1 tantan )tan( 公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1
9、2 tan2 tan 2 ,. 4 26 75cos15sin 4 26 15cos75sin 3275cot15tan 3215cot75tan 公公式式组组一一 sinxcscx=1tanx= x x cos sin sin2x+cos2x=1 cosxsecxx= x x sin cos 1+tan2x=sec2x tanxcotx=1 1+cot2x=csc2x =1 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin
10、2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan sin) 2 1 cos( cos) 2 1 sin( cot) 2 1 tan( sin) 2 1 cos( cos) 2 1 sin( cot) 2 1 tan( 高三数学总复习三角函数 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin （A、0） 定义域RRR 值域 1, 1 1, 1 RR AA, 周期性 22 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当非奇非偶, 0 当奇函数, 0 单调性 2 2 ,2 2 k k 上 为 增 函
11、数； 2 2 3 ,2 2 k k 上 为 减 函 数 （）Zk ； 2 ,12 k k 上 为 增 函 数 12 ,2 k k 上 为 减 函 数 （）Zk kk 2 , 2 上为增函数（Zk ） 上为减函1,kk 数（）Zk )( 2 1 2 ),( 2 2 A k A k 上为增函数； )( 2 3 2 ),( 2 2 A k A k 上为减函数（Zk ） 注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相xysinxysinxycosxycos 反.一般地，若在上递增（减） ，则在上递减（增）.)(xfy ,ba)(xfy,ba 与的周期是. xysinxycos 或（）的周期.)sin(x
12、y)cos(xy0 2 T 的周期为 2（，如图，翻折无效）. 2 tan x y 2TT 的对称轴方程是（） ，对称中心（） ；的)sin(xy 2 kxZk 0 , k)cos(xy 对称轴方程是（） ， 对称中心 （） ；的对称中心 （）.kx Zk 0 , 2 1 k )tan(xy0 , 2 k xxyxy2cos)2cos(2cos 原点对称 ZkkxRxx, 2 1 |且 ZkkxRxx,|且 xycotxytan xycos xysin O y x 高三数学总复习三角函数 当；.tan, 1tan)( 2 Zkk tan, 1tan)( 2 Zkk 与是同一函数,而是偶函数，则
13、xycos kxy2 2 sin )(xy )cos() 2 1 sin()(xkxxy . 函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义xytanR 域，为增函数，同样也是错误的.xytan 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件 ： 一是定)(xf 义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数： )()(xfxf ）)()(xfxf 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定xytan ) 3 1 tan(xy 义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性x0)(
14、xf 0)0(fx0 质） xysin 不是周期函数；为周期函数（） ；xysinT 是周期函数（如图） ；为周期函数（） ； xycosxycos T 的周期为（如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2 1 2cosxy .Rkkxfxfy),(5)( 有. a b babaycos)sin(sincos 22 yba 22 11、三角函数图象的作法： ） 、几何法： ） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲 线）. ） 、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（x） 的振幅|A|， 周期， 频率， 相位初相 2 | T 1| 2 f T ;x （即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号） ， 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变， 纵坐标伸长 （当|A|1） 或缩短 （当 0|A| 1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A y x y=cos|x|图象 1/2 y x y=|cos2x+1/2|图象 高三数学总复习三角函数 替换 y） 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长 （0|1） 或缩短 （|1） 到原来的倍，得到 ysin x 的图象，叫做周
