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1、1 工程问题（一）工程问题（一） 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的 内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量工作量=工作效率工作效率工作时间，工作时间， 工作时间工作时间=工作量工作量工作效率，工作效率， 工作效率工作效率=工作量工作量工作时间。工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可 工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时 间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成
2、“工作量/天”，或“工作量/时”等。但 在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两 队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解：分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效 2 例例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工 时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成 任务。问：甲队干了多少天？ 分析：分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两 队合干需多少天？”这样一来，
3、问题就简单多了。 答：甲队干了 12 天。 例例 3 单独完成某工程， 甲队需 10 天， 乙队需 15 天， 丙队需 20 天。 开始三 个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问 ： 甲队实际工作了几天？ 3 分析与解 ：分析与解 ： 乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量， 剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了 例例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人 同时做， 那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。 这批零件共有多少个？ 分析与解：分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成
4、需要的时间， 例例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满， 单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开 排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 4 例例 6 甲、 乙二人同时从两地出发， 相向而行。 走完全程甲需 60 分钟， 乙需 40 分 钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再 出发后多长时间两人相遇？ 分析：分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用 时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟， 再加上取东西的 5 分
5、钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下：完成 一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多 少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。 答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。 练习练习 5 1.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完 成工程的一半？ 2.某工程甲队单独做需 48 天， 乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交 给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中 间单独工作的天数。 5 3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，
6、剩下的乙队 单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？ 则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？ 5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从 两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？ 6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注 满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？ 7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从 40 千米。求甲、乙两地的距离。 工程问题（二）工程问题（二） 上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
7、 在较复杂的工程问 题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方 法，问题也不难解决。 例例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可完成 ； 如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？ 6 分析与解：分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画 出示意图： 从上图可直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等，即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=2
8、4（天） 甲、乙合做这一工程，需用的时间为 例例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙队先做 7 天，然后 么还要几天才能完成？ 分析与解：分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作 7 们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做 4 天，乙再单独 例例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定 时间 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙单独做，那么 刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？ 分析与解 ：分析与解 ： 乙单独做要超过 3 天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好按
9、时完 成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的 ，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要 例例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1，2，3 号阀门，则 20 分钟可以完成 ； 若同时打开 2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成 ； 若同时打开 1，3，4 号阀门， 则 28 分钟可以完成；若同时打开 1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问： 如果同时打开 1，2，3，4 号阀门，那么多少分钟可以完成？ 8 分析与解 ：分析与解 ： 同时打开 1，2，3 号阀门 1 分钟，再同时打开 2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，3，4 号阀门
10、 1 分钟，再同时打开 1，2，4 号阀门 1 分钟， 这时，1，2，3，4 号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一 例例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成 ； 由二、三、四小队合干， 需要 10 天完成 ； 由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、 二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完 成？ 分析与解：分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是 例例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮 流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流 9 件工作，要用多
11、少天才能完成？ 分析与解：分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁 后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数 都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。 由最后一轮完成的工作量相同，得到 练习练习 6 1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲 完成 10 有多少个？ 需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？ 3.加工一批零件，王师傅先做 6 时李师傅再做 12 时可完成，王师傅先 做 8 时李师傅再做 9 时也可完成。 现在王师傅先做 2 时， 剩下的两人合做， 还需要多少小时？ 独修各需几天？ 5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依 次需要 10，12，15 时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭， 结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？ 6.单独完成某项工作，甲需 9 时，乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、 乙、的顺序轮流工作，每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？ 7.一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干， 这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干， 这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需 要几天？
