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1、第七讲工程问题 第 1 页 共 6 页1 第七讲工程问题 一、知识要点一、知识要点 在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总 量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作总量=工作效率工作时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子：一件工作，甲做 10 天可完成，乙做 15 天可完成.问两人合作几天可以完成？ 一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用 的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，因此甲的工作效率是，乙的工
2、作效率是，我们想求两人合 10 1 15 1 作所需时间，就要先求两人合作的工作效率，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量工 15 1 10 1 作效率 =6（天）. 两人合作需要 6 天. 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化 （尽可能用整数进行计算） ， 可把工作量多设份额.如上题， 10 与 15 的最小公倍数是 30. 设全部工作量为 30 份.那么甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两人合作所需天数是 30（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把这个算式，先用 30 乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 11 1 () 1
3、015 10 天与 15 天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系.或者说“工作量固定，工作效 11 :3:2 10 15 率与时间成反比例”.甲、 乙工作效率的比是 1510=32.当知道了两者工作效率之比， 从比例角度考虑问 题， 也是非常实用的.根据， 两人合作时， 甲应完成全部工作的， 所需时间是（天）.3:2 33 325 3 106 5 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体 1”的做法，也可以“整数化”或“从 比例角度出发” 、 “列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些. 二、典型例题二、典型例题 例例 1. 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天
4、可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成.乙 需要做几天可以完成全部工作？ 解析：甲的工效：191/9 乙的工效：161/6 甲三天做了的：1/9 31/3 余下的工作：1 1/3 2/3 乙需做的天数：2/3 1/64（天） 例例 2. 有一工程， 甲队单独做 24 天完成， 乙队单独做 30 天完成， 甲、 乙两队合做 8 天后， 余下的由丙队做， 又做了 6 天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成？ 解析：1-（1/24+1/30）8=2/5 62/5=15 天 例例 3. 某工程先由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成，若由甲乙两人合作，需 48 天完成，
5、现在 甲先单独做 42 天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？ 解析：某工程先由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天可以完成,可看成甲乙合作 28 天，甲再另外做了 35 天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84， 乙的工效为 1/48-1/84=1/112 甲先单独做 42 天， 然后由乙接着做， 还需(1-42*1/84)/(1/112)=56 天 第七讲工程问题 第 2 页 共 6 页2 另一个方法：令甲每天做工程的百分比为 x，乙每天做工程的百分比为 y 则 63x+28y=1 48(x+y)=1 求得 x=1/84 y=1/112 若甲独做 42 天， 则完成工程
6、的 42/84， 即 1/2， 剩下 1/2 由乙完成， 需要 1/21/112=56 天 例例 4. 一项工程，甲乙两人合作 4 天后，再由乙单独做 5 天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的， 1 30 甲乙单独做这项工程各需要多少天？ 甲单独做需 X 天，乙单独做需 y 天 4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15 甲单独做需 10 天， 乙单独做需 15 天 设甲单独做需 X 天，那么甲平均每天完成工程的 1/X； 因为甲比乙每天多完成这项工程的 30 分之一，就是说，乙平均每天完成 1/X-1/30； 按照已知条件，甲乙合作 4 天，4/
7、X+4*(1/x-1/30)， 随后，乙单独做了 5 天，5*(1/x-1/30)， 加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1 x=10 乙每天完成 1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需 15 天 例例 5. 一项工程， 甲队单独做 20 天完成， 乙队单独做 30 天完成.现在他们两队一起做， 其间甲队休息了 3 天， 乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？ 16 天中甲实际休息了 16-3=13 天 甲完成了 13/20 乙完成了 1-13/20=7/20 需要时间：7/201/30=10.5
8、天 所以乙休息了 16-10.5=5.5 天 例例 6. 有甲、 乙两项工作， 张单独完成甲工作要 10 天， 单独完成乙工作要 15 天 ； 李单独完成甲工作要 8 天， 单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 解析 1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。乙还剩 1-8/15=7/15 两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天） 解析 2：小李做甲工效高 小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙 至少需要:(1-8/15)(1/15+1/20)+8=12 天 例例 7. 甲、
9、乙合做一件工作要 15 天才能完成，现在甲、乙合做 10 天后，再由乙独做 6 天，还剩下这件工 作的 1/10，甲单独完成这件工作要多少天？ 解析 ： 甲乙合作10天，完成了 ： 101/152/3 乙独做6天完成了 ： 12/31/107/30 乙每天完成 ： 7/306 7/180 甲独做需要：1（1/157/180）36（天） 例例 8. 一项工程甲队单独做 15 天可以完成，乙队独坐 10 天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因 另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了 9 天，乙队比甲队少工作了多少天？ 解析：甲独做一天的工效为 1/15，乙独做一天的工效为 1/10。 合做
10、分想：这项工程甲做了 9 天，剩下的都是由乙队完成的。 可以用工作总量减去甲队 9 天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时 第七讲工程问题 第 3 页 共 6 页3 间：（11/159）1/104（天） 。所以乙队比甲队少工作天数为：945 例例 9. 甲、乙合做一件工作，合作 8 天后，乙又独做 5 天，还剩下这件工作的 1/6。已知乙单独完成这件工 作要 30 天，那么甲单独完成这件工作要多少天？ 解析：1-1/30（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/58=1/20 所以需要 20 天 例例 10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的 1/12，
11、甲单独做 6 天，乙又单独做 10 天后，还剩下 全部工作的 11/30 没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？ 解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20 例例 11.一项工程，甲单独完成需 12 天，乙单独完成需 9 天。若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成， 问甲做了几天？ 解析 1：当做鸡兔同笼问题处理，如果 10 天都是乙做，能完成：1/910=10/9， 超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/91/36=4 天 解析 2：设甲做了 X
12、天 X1/12(10-X)1/91，得出 X4 甲做了 4 天 例例 12. 一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由 乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完 了这件工作.问总共用了多少天？ 解析：设甲做了 x 天，则乙做了 3x 天，丙做了 6x 天，所以 x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1 x=2，所以总共用了 2+3*2+6*2=20 天 例例 13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是 20 小时、24 小时、30 小时，现在三人合打，
13、 但甲因中途另有任务提前撤出，结果用 12 小时完成，甲只打了多少小时？ 解析 1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的 1/20,1/24,1/30，打了 12 小时，则乙和丙分别打了全部稿件 的 12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，(1/10)除以（1/20)=2 甲打了 2 小时 解析 2：方程法：设甲打 x 小时。则：x/20+12*（1/24+1/30）=1，可解出 X=2 例例 14. 一项工程甲单独完成要 30 天，乙单独完成要 45 天，丙单独完成要 90 天。现在由甲、乙、丙合作 完成此工程，在工作过程中甲休息了 2 天，乙休息了 3
14、天，丙没有休息，最后把工程完成了，问完成这项 工程前后一共用了多少天？ 解析 1：方程法设是第 x 天完成的，(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1 整理，得 x=17 解析 2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天) 解释：假若甲、乙没休息，那么应该完成总工程的 1+2/30 +3/45 例例 15. 一项工程，甲、乙两人合做 4 天后，再由甲单独做 6 天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这 项工程的 1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？ 解析 1：思路同第四题，设乙每天完成的工作占整个工作的 x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80
15、)=1 x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲 40/3 天完成，乙 16 天完成 解析 2：甲比乙多完成全部任务的：1/80*（46）1/8（46 表示甲一共做了 10 天）1-1/87/8（相 当于两人均以乙的工效完成的工作量） 44614（天） 乙每天完成 ： 7/8141/16， 甲每天完成 ： 1/161/80 3/40，单独完成甲要：13/4013 又 1/3（天） 例例 16. 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成. 第七讲工程问题 第 4 页 共 6 页4 问甲一人独做需要多少天完成？ 解析：甲乙合作的效率=
16、136=1/36，乙丙合作的效率=145=1/45，甲丙合作的效率=160=1/60，甲乙 丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)2=1/30 甲工作的效率=1/30-1/45=1/90 三、练习题三、练习题 1. 某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？ 解：天3) 15 1 10 1 ( 2 1 2. 某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来 与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。 3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条 水渠由甲队单独挖需多少天？ 4. 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队 干还需多少天？ 分析与解：分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效 5. 某项
