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1、第8讲函数与方程,【2014年高考会这样考】 1考查具体函数的零点的取值范围和零点个数 2利用函数零点求解参数的取值范围 3利用二分法求方程的近似解 4考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间 的等价转化思想和数形结合思想.,考点梳理,(1)函数零点的定义： 对于函数yf(x)，我们把方程_的实数根又叫做 函数yf(x)的零点 (2)几个等价关系： 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有_.,1函数的零点,f(x)0,零点,(3)函数零点的判定(零点存在性定理)： 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_不断的一条曲线，并且有_，那么，函数yf(x)在
2、区间 _内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根,连续,f(a)f(b)0,(a，b),2二次函数yax2bxc(a0)零点的分布,(1)二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 (2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度： 求区间(a，b)的中点c；,3. 二分法求方程的近似解,f(a)f(b)0,一分为二,零点,计算f(c)； (i)若f(c)0，则c就是函
3、数的零点； (ii)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； (iii)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) 判断是否达到精确度.即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.,一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断 两个防范,【助学微博】,(1)函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，是数不是点,(2)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且
4、有两个所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要 三种方法 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；,(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点,A B C D 答案B,考点自测,1(人湘教版教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 (),2(2012湖北
5、)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为 () A4 B5 C6 D7 答案C,3(2011新课标全国)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为 () 答案C,Af(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 答案B,解析函数f(x)x2xa在(0,1)上递增由已知条件f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0. 答案(2,0),5已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是_,A0 B1 C2 D3 审题视点 函数零点的个数f(x)0解的个数函数图象与x轴交点的个数 解析法一函数y2x与yx32在R上都是增函数，故f(x)
6、2xx32在R上是增函数，又f(0)1，f(1)1，即f(0)f(1)0，故f(x)在(0,1)内有唯一零点,考向一函数零点与零点个数的判断,【例1】(2012天津)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是 (),法二令f(x)0，即2xx320，则2x2x3. 在同一坐标系中分别画出y2x2和yx3的图象，由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点，函数f(x)2xx32在区间(0,1)内有一个零点，故选B. 答案B,对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一,解法一函数y
7、ln x与y2x6均是增函数，故函数f(x)ln x2x6在(0，)上是增函数，又f(2)ln 220，即f(2)f(3)0，所以f(x)ln x2x6在(2,3)有唯一零点,【训练1】 求函数f(x)ln x2x6的零点个数,法二在同一坐标系中画出函数yln x与y62x的图象，如图所示，由图可知两图象只有一个交点，故函数f(x)ln x2x6只有一个零点,有且仅有一个零点？ 有两个零点且均比1大？ (2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围 审题视点 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解(1)若函数f(x)x22mx3m4有且仅有一个
8、零点，则4m24(3m4)0， 即m23m40，解得m4或m1.,考向二有关二次函数的零点问题,【例2】(1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.,若f(x)有两个零点且均比1大， 设两零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4，,(2)若f(x)|4xx2|a有4个零点， 即|4xx2|a0有四个根， 即|4xx2|a有四个根， 令g(x)|4xx2|，h(x)a. 作出g(x)，h(x)的图象，如图所示,由图象可知要使|4xx2|a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点 故需满足0a4，即4a0. a的取值范围是(4,0),本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根
9、对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点,(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围,【训练2】 已知关于x的二次方程x22mx2m10.,(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根 审题视点 (1)yg(x)m有零点即yg(x)与ym的图象有交点，所以可以结合图象求解(2)g(x)f(x)0有两个相异实根yf(x)与yg(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图
10、象求解,考向三函数零点性质的应用,f(x)x22exm1(xe)2m1e2. 其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2. 故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根 m的取值范围是(e22e1，),求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解,(1)求实数a的取值范围；,【训练3】 已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1) 上有一个零点,【命题研究】 通过近三年的高考题分析，重点考查函数的零点
11、、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大,方法优化3如何解决有关函数零点的问题,教你审题 f(x)logaxxb在(0，)上单调递增且值域为R，则f(x)必有唯一零点xx0，根据x0(n，n1)，利用零点存在的判定条件来推算n的取值 一般解法 设f(x0)0，因为f(x)logaxxb，又3logaa3b4b0.综上，x0(2,3)，又因为x0(n，n1)，故n2.,【真题探究】 (2011山东)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零
12、点x0(n，n1)，nN*，则n_.,优美解法 如图所示，在直角坐标系下分别作出ylog2x，ylog3x及y3x，y4x的图象，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x0(n，n1)，nN*，故n2.,答案 2 反思 (1)要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧； (2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，在复习中要有所准备，但题量不必太大,【试一试】 (2012沈阳四校联考，8)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2a3，3b2，则n的值是 () A2 B1 C0 D1 答案B,
