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1、.,备考方向要明了,1.理解等比数列的概念 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能 用有关知识解决相应的问题 4.了解等比数列与指数函数的关系.,考 什 么,.,1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计 算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等 2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.,怎 么 考,.,归纳知识整合 1等比数列的相关概念,a1qn1,na1,.,探究1.b2ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 提示：b2ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条
2、件，因为当b0时，a，c至少有一个为零时，b2ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2ac. 2如何理解等比数列an与指数函数的关系？,.,2等比数列的性质 (1)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq则 . 特别地，若mn2p，则 . (2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2 (mN*，公比q1) (3)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列 (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.,aman,amana
3、,Sm(S3mS2m),apaq,2p,.,自测牛刀小试,答案：D,1在等比数列an中，如果公比q0,0q1，数列an为递减数列，当q0，数列an为摆动数列,.,2(教材习题改编)等比数列an的各项均为正数，且a5a6 a4a718，则log3a1log3a2log3a10() A12 B10 C8 D2log35 解析：数列an为等比数列，a5a6a4a79， log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10) log3(a5a6)55log3a5a65log3910. 答案：B,.,答案：4或4,.,4在等比数列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，则a3 a5的值
4、为_ 解析：由等比数列性质，已知转化为a2a3a5a25， 即(a3a5)225，又an0， 故a3a55. 答案：5,.,5在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这 三个数分别是_,.,等比数列的基本运算,例1(1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10 () A7B5C5 D7 (2)(2012辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_. (3)(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.,25,.,.,.,.,.,.
5、,答案：(1)B (2)B,.,等比数列的判定与证明,例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；,.,自主解答(1)证明：由a11，及Sn14an2， 有a1a24a12，a23a125， b1a22a13. 由Sn14an2， 知当n2时，有Sn4an12， 得an14an4an1， an12an2(an2an1) 又bnan12an，bn2bn1. bn是首项b13，公比q2的等比数列,.,., ,等比数列的判定方法,(2)等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列 (3)通项公式
6、法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列,(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列. 注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于填空题中的判定.,.,2成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别 加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5. (1)求数列bn的通项公式；,解：(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad. 依题意，得adaad15，解得a5. 所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.,.,.,等比数列的性质及应用,例3(1)在等
7、比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_. (2)已知数列an为等比数列，Sn为其前n项和，nN*，若a1a2a33，a4a5a66，则S12_.,.,.,.,答案(1)1 024(2)45,.,等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形，等比中项的变形，前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,.,3已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求 再后面3n项的和 解：Sn2，其后2n项为S3nSnS3n212， S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3n
8、S2n成等比数列， 即(S2n2)22(14S2n)解得S2n4，或S2n6. 当S2n4时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为2，公比为3的等比数列， 则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364， 再后3n项的和为S6nS3n36414378. 当S2n6时，同理可得再后3n项的和为 S6nS3n12614112. 故所求的和为378或112.,.,(1)注意q1时，Snna，这一特殊情况 (2)由an1qan(q0)，并不能断言an为等比数列，还要验证a10. (3)在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1和q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错误,.,(1)方
9、程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键,.,.,创新交汇以等比数列为背景的新定义问题 1在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题 2对于此类新定义问题，只要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决,.,典例(2012湖北高考)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如
10、果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在 (，0)(0，)上的如下函数：,则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 () A B C D,.,.,答案C,.,1本题具有以下创新点 (1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质 (2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求 2解决本题的关键有以下两点,(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键,.,.,答案：B,.,.,答案：D,“演练知能检测” 见“限时集训（三十二）”,.,1已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35， a7a8a910，则a4a5a6(),.,答案：A,.,2设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则 S9S3等于 () A12 B23 C34 D13,答案：C,.,3设正项等比数列an的前n项和为Sn，已知a34， a4a5a6212. (1)求首项a1和公比q的值； (2)若Sn2101，求n的值,.,(1)令bnan1an，证明bn是等比数列； (2)求an的通项公式,.,
