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1、掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题,2.2 一元二次不等式的应用,【课标要求】,【核心扫描】,一元二次不等式的应用(重点) 一元二次不等式中的恒成立问题(难点) 与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛 注意实际问题中变量有意义的范围,1,2,1,2,3,4,一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式ax2bxc0的解集是R的等价条件是 _；一元二次不等式ax2bxc0的解集是R的等价条件是_.,自学导引,1,a0且0,a0且0,穿针引线法解简单分式不等式或高次不等式的方法 (1)将不等式化为标准形式；一端为0，另
2、一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积 (2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出 (3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过) (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解,3,4,想一想：用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？_(用“能”或“不能”填空) 提示能设矩形一边的
3、长为x m，则另一边的长为(50 x)m，0 x50.由题意，得x(50 x)600，即x250 x6000，解得20 x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形,由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论： (1)不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；,名师点睛,1,一元二次不等式的实际应用 (1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环 (2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优
4、化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题 (3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识，数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容,2,分离参数法解不等式恒成立问题 对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.,3,题型一恒成立问题,当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R? 思路探索 不等式的解集为R，也就是函数f(x)(a21)x2(
5、a1)x1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a21可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决,【例1】,(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量例如，“已知函数yx22(a2)x4，对a3,1，y0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数,不等式(a1)x2axam(x2x1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小 解原不等式整理得 (am1)x2(am)xam0对任意x恒成立 当am10时，原不等式化为x10， 即x1，不恒成立 当am10时，由题意知,【训练1】,am10，3(am1)110， am0，am. 综上，a与m的大小关系是am.,思路探索 将分式不等式等价转
6、化为一元二次不等式或一元一次不等式组,【例2】,题型二分式不等式的解法,规律方法(1)解分式不等式关键是如何将它转化为同解的整式不等式，化未知为已知做题时要体会这种转化的思想 (2)转化的依据是实数运算的符号法则，所以要将不等式一边先化为零,【训练2】,思路探索 解答本题可先移项通分，将各因式最高次项系数化为正，再转化为与它同解的整式不等式求解用穿针引线法求解集,【例3】,题型三 简单高次不等式的解法,此不等式等价于(x1)(x2)(x1)2(x4)0，且x1，x 4.分别令各个因式为零，可得根依次为1,2,1，4. 在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图,由x轴上的图像可得不等式的解集为x|x
7、4，或1x1，或1x2 规律方法解简单的高次不等式时要特别注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起来，遵循“奇穿偶回”的原则,解(1)各因式的根分别为0,1，1，2，其中1为二重根，1为三重根在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图,【训练3】,(本题满分12分)汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(
8、m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 审题指导 将文字语言翻译成数学语言，将不等关系转化为不等式问题求解,【例4】,题型四一元二次不等式的简单应用,规范解答 由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x212，即x210 x1 2000，(2分) 解得x30，或x40(不符合实际意义，舍去)，(4分) 这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.(6分) 对于乙车，有0.05x0.005x210，即x210 x2 0000，(8分) 解得
9、x40，或x50(不符合实际意义，舍去)，(10分) 这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速(12分),【题后反思】 解不等式应用题的步骤： (1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题,国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的
10、78%.,【训练4】,所以y2 400m8%78%，即44x2. 又0 x8，所以x的取值范围是0 x2.,解“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8x)%； “收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(12x%)t，总收购款为2 400m(12x%)元；“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入2 400m8%78%.设税率调低后的“税收总收入” 为y元， y2 400m(12x%)(8x)%,错解 原不等式可化为x21，即(x1)(x1)0，x1，原不等式的解集为x|x1 错解的主要原因是乱去分母不等式的运算之理不清，不等式两边同乘一个数，是否改变符号？,误区警示算理不清，胡乱变形而致错,【示例】,由图知 原不等式的解集为x|11,不等式中不能乱去分母，去分母时要知道分母的符号，最好是移项通分,
