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1、,第五章 定积分 第一节 定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决步骤 :,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,(1)分割:,(2)近似代替:,(3)求和:,令,则曲边梯形面积,(4)取极限:,实例2 （求变速直线运动的
2、路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,解决步骤:,得,n 个小段,过的路程为,(1)分割:,(2)近似代替:,(3)求和:,(4)取极限:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割,近似代替, 近似和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,各部分面积的代数和,这是因为,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,利
3、用几何意义求定积分,解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以,例2,五、定积分的性质,两点规定,性质1,证,由定积分定义及极限运算性质：,证,推论1,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,这是因为g(x)f(x)0 从而,如果在区间a b上 f (x)0 则,性质4,所以,推论2,因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,证,所以,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,这是因为, 由性质5,性质6(定积分中值定理),积分中值公式,由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使,两端乘以ba即得积分中值公式.,解,P153 1 3（3） ,作业,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,练 习 题,练习题答案,
