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1、第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,双基研习面对高考,第3课时,双基研习面对高考,1两个向量的夹角 (1)定义,非零,(2)范围 向量夹角的范围是_，a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角180. (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是_，则a与b垂直，记作_.,0180,0,90,ab,思考感悟 提示：不正确求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,2数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则_叫做a与b的数量积，记作ab，即ab _； (2)几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上的投影|b|
2、cos的乘积,|a|b|cos,|a|b|cos,思考感悟 2.向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？ 提示：当a，b为非零向量时，ab的符号由夹角的余弦来确定：当090时，ab0；当90180时，ab0；当a与b至少有一个为零向量或90时，ab0.,|a|cos,|a|b|,|a|b|,|a|2,ab0,4数量积的运算律 (1)abba； (2)(a)b_a(b)； (3)(ab)c_.,(ab),acbc,x1x2y1y2,x2y2,x1x2y1y20,1设向量a(1,1)，b(3,5)，则(ab)(ab)等于() A(32,48)B(32，48) C(32,48) D(32，48
3、) 答案：A,答案：B,答案：C,4(教材习题改编)已知a(m1，3)，b(1，m1)，且(ab)(ab)，则m的值是_ 答案：2 5已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a方向上的投影是_ 答案：1,考点探究挑战高考,平面向量数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择,【思路分析】(1)作出三角形，找出向量夹角，利用数量积公式求解 (2)写出向量坐标，代入公式求解,【规律小结】向量的数量积的运算结果是一个数量，平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法我们遇到求向量的模时，可先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解,
4、互动探究 若本例 (1)中将等边三角形改为等腰直角三角形，C90，又将如何求解？,【规律小结】求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角,向量的平行、垂直都是两向量关系中的特殊情况，判断两向量垂直可以借助数量积公式如果已知两向量平行或垂直可以根据公式列方程(组)求解,已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120. (1)计算|ab|，|4a2b|； (2)当k为何值时，(a2b)(kab)?,(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，
5、 ka2(2k1)ab2b20， 即16k16(2k1)2640， k7. 【方法总结】(1)非零向量ab0ab是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关的垂直问题十分有效，应熟练掌握 (2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20. (3)ababx1y2x2y10(b0),平面向量与三角函数的结合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述它需要根据向量的运算性质将向量问题转化成三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体,【误区警示】在解答本题(2)的过程中，往往先求解a、b的值，使解题过程繁琐，原因是忽视了整体代换的思想方法,方法技巧 1数量积ab中间的符号“”不
6、能省略，也不能用“”来替代 2要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律(、s、tR),3求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量数量积的运算 4一般地，(ab)c(bc)a，即乘法的结合律不成立因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边(bc)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(ab)c(bc)a.,失误防范 1零向量：(1)0与实数0的区别，不可写错：0a00，a(a)00，a0 00；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系 2ab0不能推出a0或b0，因
7、为ab0时，有可能ab. 3abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立,考向瞭望把脉高考,通过对近几年高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容,预测2012年高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向,【名师点评】本题考查了平面向量坐标的基本运算及平面向量的应用，试题为一般题型，难度较小，但仍有考生出错，其原因是犯了经验错误，误以为AC为平行四边形的对角线,
