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1、基础知识 1正多面体的定义： 每一个面都是有相同边数的 ，每个顶点为端点都有的凸多面体 2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，采用“割”或“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(如柱、锥),正多边形,相同棱数,3球 (1)定义：到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体 (2)性质： 用一个平面去截一个球，截面是 球心和截面圆心的连线 球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有以下关系： 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ，被不经过球心的平面截得的圆叫,圆面,垂直于截面,大圆,小圆,在球面上两点之间的最短连线的长度，就是 ，这个弧长叫两点的球面距离 (3)球面面积和球的体积
2、公式： 4球是区别于多面体的一种几何体，也是常见的旋转体球是既 对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为 ，因此球的问题常转化为圆的有关问题来解决,经过,这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,中心,圆面,5球的表面积和体积都是关于 的代数式，明确公式的系数和球半径R的幂在应用时，关键确定球半径R的值 6计算球面上A、B两点间的球面距离的一般步骤： (1)； (2) ； (3)计算大圆弧 的长 7关于组合体问题(球与多面体的“切”与“接”)关键在于掌握其位置关系，解决时常画出它们的，在轴截面中寻找,计算线段AB的长,计算A、B对球心O的张角AOB,轴截面,各量之间的关系,球半径R,易错知识 一
3、、空间位置考虑不周导致失误 1过球面上任意两个不同的点，可以作个球的大圆,1个或无数,二、球的性质应用错误 2(2008湖北3)如图所示，一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的体积为(),解题思路：设球半径为R，截面圆半径为r，根据r2r1. 又OQ11，R 从而得球的体积,失分警示：对球的性质掌握不好，OO1截面圆O1及RtOO1A中勾股定理的运用，还有球的表面积公式的应用不够灵活，导致该题失分 答案：B,3如图，已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1的各条棱长均为3，BAD60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹
4、(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为(),解题思路：连结DN，DP，如图，由直平行六面体的性质，M在DD1上运动，N在面ABCD内运动，MD与ND始终保持垂直，即MND总为Rt，且MN为定长2，又因为P为MN的中点，根据Rt斜边的中线等于斜边长的一半，得DP MN1，于是得P到定点D的距离DP为定值1.,动点P在以D为球心，以1为半径的球面上且在平行六面体ABCDA1B1C1D1内部的部分，从而所求的几何体为球体的一部分 此几何体为半球的 ，即整个球的 ，,失分警示：误区1：不能灵活运用直平行六面体的性质、直角三角形的性质和球面、球体的概念，结合较强的空间想象能力，准确找出所求的
5、几何体的形状，而无从下手 误区2：受平行六面体直观图的影响，误以为是正方体，得所求的几何体为球的 而选C.或者没有考虑P的轨迹的范围，而误以为是整个球体，而错选D. 答案：A,回归教材 1下列结论正确的是() A过球面上两点，可确定球的一个大圆 B过球直径的三等分点的平面不可能平分球 C过球面上三点，可确定一个大圆 D若A、B、C是球面上三点，则过三点的球的截面圆周是ABC的外接圆,解析：对于A，当球面上两点为球的直径的两个端点时，经过这两点可作无数个大圆，故A不正确；对于B，若过球的直径的三等分点的平面恰好过此直径，则它平分球，故B不正确；对于C，如果这三点在一个小圆上，由不共线三点确定一个
6、圆可知，这三点不可能再确定一个大圆，故C不正确；对于D，由于A、B、C不共线，故可确定一个圆，它是ABC的外接圆(截面圆周)，故D正确 答案：D,2长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 () A25 B50C125 D都不对 解析：设长方体的体对角线长为l，外接球半径为R，则l232425250，又R， S球表4R24 l250. 答案：B,3一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是() 解析：如图OO1AB， AO13cm，OO14cm， 则OA5cm. 答案：C,4(2009辽宁，5)如果把地
7、球看成一个球体，则地球上北纬60纬线长和赤道线长的比值为() A0.8 B0.75 C0.5 D0.25 解析：作出截面图由图可知 2r2Rsin30 故选C. 答案：C,5(2009崇文模拟)球面上三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，AC15，BC12，AB9，且球心到该截面的距离为球半径的一半，那么球的体积为_，A、C两点间的球面距离为_,【例1】(2008四川非延考区，8)设M、N是球O半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为“() A3：5：6 B3：6：8 C5：7：9 D5：8；9,命题意图本小题考查球
8、的截面的性质，求解时应先作出球的轴截面图 解析作出球的轴截面图如右图 设球的半径为3R， 答案D,(2009北京朝阳一模)用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为() 解析：如图，设球的半径为R， 截面圆的半径为r， 则球心到截面的距离为.,(2009福建质检)已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB3，AOB120，则球的体积为_ 解析：设球的半径为R，则OAOBR由余弦定理得： AB2R2R22R2cos120R.,【例2】设地球的半径为R，在北纬45圈上有两个点A、B，A在西经40，B在东经50，求A、B两点间纬线圈的弧长及A、B两点间的球面距离 解析如图，设4
9、5纬线圈中心为O1，地球中心为O，则AO1B405090. 又OO1圆O1所在平面， OO1O1A，OO1O1B. 又A、B在北纬45圈上， OBO1OAO145.,O1AO1BO1OOAcos45 在直角AO1B中，AO1BO1，,A、B两点间纬线圈的弧长为 A、B两点间的球面距离为 反思归纳要正确理解球面上两点距离和两点间的直线距离的区别与联系(要求球面距离，必先求两点的直线距离)注意球面上两点距离的求法步骤(如图所示，解O1AB得AB长；解OAB得AOB的弧度数；利用l|R，即得球面上A、B两点间的距离),(2009四川，8)如图所示，在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90，BA
10、BC，球心O到平面ABC的距离是 则B、C两点的球面距离是 (),解析：ABC90，ABBC.设ABC外接圆圆心为O1，则O1在AC中点外OO1 OA3，AO1 BC3，BOC . B、C两点的球面距离d 3.,【例3】正四面体棱长为a，求其外接球和内切球的表面积 解析正四面体的外接球和内切球是同心球，且球心在正四面体一截面的高上 解法一：如图，正四面体PABC中，内切球切底面ABC于E，切侧面PAB于F，则E、F为底面和侧面的中心，连结PE，则PE平面ABC，取AB中点D，连结PD、CD，F、E分别在PD、CD上，设内切球半径为r，外接球半径为R，rOE，ROP，,总结评述(1)内切球球心到
11、多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 (2)多面体的体积等于多面体的表面积与其内切球半径乘积的 (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合 (4)并非所有的多面体都有外接球或内切球,(2009全国，15)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_,答案：20 解析：如图，O为球心，D为三角形ABC的外心，根据题意得ABC为等腰三角形，底角为 由正弦定理得 求得AD2，又OD1，则球的半径为， 表面积为20，故填20.,1球的问题经常转化到相关圆的问题解决，关于多面体与球的切、接问题关键是找出切、接点，把空间问题转化为平面问题解决 2经纬度是球面上规定的一种坐标系，解球面上经纬问题，首先要搞清楚经度和纬度的定义，掌握代表经度和纬度的角或二面角及球面上两点之间的距离的定义，然后再用几何及三角知识求角 3要注意把空间问题转化到平面的方法,请同学们认真完成课后强化作业,
