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1、学 海 无 涯,第1章质点运动学P21,1.8一质点在 xOy平面上运动，运动方程为： x =3 t +5, y = 1 t 2+3 t -4., 1,2 式中t 以 s计，x , y 以m计。以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； 求出t =1 s 时刻和t 2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移； 计算t 0 s时刻到t 4s时刻内的平均速度；求出质点速度矢量表示式，计 算t 4 s 时质点的速度；(5)计算t 0s 到t 4s 内质点的平均加速度；(6) 求出质点加速度矢量的表示式，计算t 4s 时质点的加速度(请把位置矢量、 位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度
2、都表示成直角坐标系 中的矢量式)。 解：（1） r (3t 5)i( t 2 3t 4) j m 2, t 1s, t 2 s 时， r 8i 0.5 j m ； r 11i 4 j m 12,r r2 r1 3i 4.5 j m, t 0 s 时， r0 5i 4 j ； t 4 s 时， r4 17i 16 j,v r r4 r0 12i 20 j 3i 5 j ms1 t4 04,dr,dt,4,v 3i (t 3) j ms1 ，则：v 3i 7 j,ms1,(5)t 0 s 时，v0 3i 3 j ； t 4 s 时，v4 3i 7 j,a , 40 , 1 j ms2,vv v4
3、j t44,dv,(6) a 1 j ms2这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。,dt 1.9 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为a 2 6x2 ，a的单位为m/s2，,x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。,dtdx dtdx,解：由a dv dv dx v dv 得：vdv adx (2 6x2 )dx,100,vx,223,两边积分vdv (2 6x )dx 得：v2 2x 2x 50,3,1, v 2 x x 25 ms,1.11一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 t 3 ，式中 以弧,度计， t 以秒计，求：
4、 t 2 s时，质点的切向和法向加速度；当加速度 的方向和半径成45角时，其角位移是多少?, 9t 2 , 18t,dd dt,解： ,dt R 118 2 36 m s2, t 2 s 时， a,a R 2 1 (9 22 )2 1296 m s2,n,n 当加速度方向与半径成45 角时，有： tan 45 a a 1 即： R 2 R ，亦即(9t 2 )2 18t ，解得： t 3 2 9,则角位移为： 2 3t3 2 3 2 2.67rad,9 1.13 一质点在半径为0.4m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角 加速度为 =0.2 rad/s2，求t 2s时边缘上各点的速度、
5、法向加速度、切向加 速度和合加速度。 解： t 2 s 时， t 0.2 2 0.4 rad s1 则v R 0.40.4 0.16 ms1,n,a R 2 0.4 (0.4)2 0.064 ms2,a R 0.4 0.2 0.08 ms2,a a2 a2 (0.064)2 (0.08)2 0.102 ms2,n 与切向夹角 arctan(an a ) 0.064 0.08 43,1,学 海 无 涯,第2章质点动力学 2.10质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv ( k 为常数)作用，,( k )t m,t =0时质点的速度为v0 ，证明： t 时刻的速度为v =v0e； 由0到
6、t 的,k,mv,0m,( )t,k,时间内经过的距离为 x ()1- e；停止运动前经过的距离为,mm v0 ( k ) ；当t ,1,时速度减至v 的，式中m为质点的质量。 k0e,解： f kv ， a f m kv m,dt,m,dvkv, 由a 得： dv adt dt,0,0,m,t kdt,分离变量得：dt ，即 v v,dvkv dv,v,，,因此有：,0,m kt,m,ln ln e,v,v,0,k,m,t,， v v e,dx,dt,0,k,m,t, 由v 得： dx vdt,0,0,0,k,m,x,t,dt,t, v edt ，两边积分得：dx v e,0,k,m,k,t
7、,x (1 e),mv,0,k,m,t, 质点停止运动时速度为零，v v e 0 ，即 t，,00,0,m, k t,故有： x v,edt mvk,00,m k,k m,1, t m k 时，其速度为： v v e v e v0 e ，,即速度减至v 的1 e .,0 2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为 F (10 2t)i N，式中t 的单位是s， 求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。 为了 使这力的冲量为200 Ns ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物 体和一个具有初速度 6 j m/s的物体,回答这两个问题。,解： 若物体原来静止，则 ,0
8、,t 4,0,1,1,p Fdt (10 2t)i dt 56 kg m s i ,沿 x 轴正向，,；I p 56 kg m s1i 11,v p m 5.6 ms1i 11,000,0,00,若物体原来具有 6 ms1 初速，则 t,t,Fdt,p mv , p m(v F m dt) mv,t,0,于是： p p p 20,12121,Fdt p ,同理有： v v , I I,这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也 不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这 就是动量定理。 t,0,2, 同上理，两种情况中的作用时间相同，即： I (1
9、0 2t)dt 10t t,亦即： t 2 10t 200 0，解得t 10 s，( t 20 s 舍去),2.17 设,合,F 7i 6 jN 。 当一质点从原点运动到r 3i 4 j 16km,时，求 F 所作的功。 如果质点到r 处时需0.6s，试求平均功率。 如果 质点的质量为1kg，试求动能的变化。 解： 由题知， F合 为恒力，且r0 0, A F r (7i 6 j ) (3i 4 j 16k ) 21 24 45 J,合,A45, P 75 w,t0.6 由动能定理， Ek A 45 J 2.20一根劲度系数为k1 的轻弹簧 A 的下端，挂一根劲度系数为,k 的轻弹簧 B ，
10、B 的下端又挂一重物C ， C 的质量为M ，如,2 图。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解：弹簧 A、B 及重物C 受力如题 2.20 图所示平衡时，有：,FA FB Mg，,A11B22,又F k x ， F k x,1221,所以静止时两弹簧伸长量之比为： x,x kk,弹性势能之比为：,p2221,Ep1,1 2 k x2k,11 2,E1 2 k x2k,2,学 海 无 涯,第3章刚体力学基础 3.7 一质量为m 的质点位于( x1 , y1 )处，速度为v v xi v y j , 质点 受到一个沿 x 负方向的力 f 的作用，求相对于坐标原点的角动量以 及作用
11、于质点上的力的力矩。,11,解： 由题知，质点的位矢为： r x i y j,作用在质点上的力为： f fi,所以，质点对原点的角动量为：,011xy,L r mv (x i y j ) m(v i v j ) (x mv y mv )k,1y1x ,1,fi ) y fk,作用在质点上的力的力矩为： M r f (x i y j ) ( 011,3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为 r1 8.7510 10m 时的速率是v1 5.46104m/s，它离太阳最远时的速率是v 2 9.0810 2 m/s,这时它离太阳的距离r2 是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解
12、：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力，即有心力的作用，所以角动量 守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有：,12,2,r1mv1 r2mv2 r2 1 1 5.2610m,rv8.751010 5.46104,v29.0810,3.9 物体质量为3kg，t =0时位于r 4i m ,v i 6 j (m/s)，如一恒力 f 5 jN 作用在物体上,求3秒后， 物体动量的变化； 相对 z 轴角动量的变化。,0,1,解：p fdt 5 jdt 15 j kg m s,3 ,t3, 4 3 7m, 解法(一) 由a f m 5 3 jN 得： x x v t 4 t,26
13、23,0 y,t 3,00 x y v t 1 at 2 6t 5 t 2 6 3 1 5 32 25.5 j,即有： r 4i , r 7i 25.5 j 12 vx v0 x 1；v y v0 y at 6 5 3 3 11,212,即有：v i 6 j ,v i 11 j,L1 r1 mv1 4i 3(i 6 j) 72k L2 r2 mv2 (7i 25.5 j )3(i 11 j ) 154.5k,21,L L L 82.5k kg m2 s1,解法(二) M dL ， dt,2,0,0,0,3,0,23,t,t,1,L M dt (r f )dt,(4 t)i (6t 1 ) 5
14、t ) j 5 jdt 32,5(4 t)kdt 82.5k kg m s,3.10 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂 一质量为M1 的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0 时重物达到平衡。,今在M1 的下方再挂一质量为M 2 的物体，如题 3.10图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径r 为多少? 解：只挂重物M1 时，小球作圆周运动，向心力为,1,M g ，即：,2,M1 g mr00,挂上M 2 后，则有：(M1 M 2 )g mr 2,重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒。,2,000,即 ： r0mv rmv r r 2,M g,mr
15、0,2,M g M M,联立、得：0 1 ， ,1 ( 12 )3 ， mr0M1,1,1,2,12,M,M M,r ,2 g ( 1)3 r0,mM M,3.11 飞轮的质量m 60kg，半径 R 0.25m，绕其水平中心轴O 转动，转 速为900 rev/min。现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动 力 F ，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.11 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞 轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。试求： 设 F 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止 转动?在这段时间里飞轮转了几转? 如果在2s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力 F ?,3,学 海 无 涯,解： 先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)。图中 N 、N 是正压力，Fr 、,Fr 是摩擦力， Fx 和 Fy 是杆在 A 点 转轴处所受支承力， R 是轮的重力， P 是轮在O 轴处所受支承力。 杆处于静止状态，所以对 A 点的合 力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有： F (l1 l2 ) Nl1 0 ， N (l1 l2 )F l1,I,对飞轮，按转动定律有 Fr R ，式中负号表示 与角速度 方向相反。,F,l,1,12,l l,Fr N ， N N Fr N ,2,1,2ImRl1,Fr R2(l1 l2 ),又I mR
