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1、第三节 函数的单调性与最值,基础梳理,1.定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2 A，当x1f(x2),f(x1)f(x2),局部,定义域,任意,区间A,2. 如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为_ 或_，统称单调函数,增函数,减函数,3. 复合函数的单调性 对于函数yf(u)和ug(x)，如果当x(a，b)时， u(m，n)，且ug(x)在区间(a，b)上和yf(u) 在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函 数yf(g(x)在区间(a，b)上具有_，并 且具有这样的规律：“_”，见表.,单调性,同增异减,增函数,
2、增函数,减函数,减函数,增函数,减函数,基础达标,(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为 增函数的是() A. yx1 B. y C. yx24x5 D. y,解析： 结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意,B,2. (教材改编题)f(x)4x2mx5在2，) 为增函数，f(1)的取值范围是() A. (，25 B. (25，) C. 25，) D. (，25),解析： 由题意知对称轴 2，即m16， 所以f(1)9m25.,C,3. 若函数yax与y 在(0，)上都是减函数， 则yax2bx在(0，)上是() A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增,B,解
3、析： 由题意可知a0，b0， yax2bx的对称轴方程：x 0， 又a0，yax2bx在(0，)上为减函数,4. 函数f(x) 在2,3上的最小值为_， 最大值为_,解析：,f(x)在(1，)上为减函数， f(x)在2,3上单调递减， f(x)minf(3) ，f(x)maxf(2)1.,5. 函数 的单调递减区间是_,解析：,令u|x3|，则在(，3)上u为x的减函数， 在(3，)上u为x的增函数又0 1， 在定义域内为减函数， 在区间(3，)上y为x的减函数,(3，),经典例题,【例1】判断并证明函数f(x) ， x1，)的单调性,题型一函数单调性的判断与证明,判断并证明函数f(x) (a
4、0)在x(1,1) 上的单调性,变式11,方法一(定义法)： 设10，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0， f(x1)-f(x2)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数,方法二(导数法)： a0，x2+10，(x2-1)20， f (x)0， 函数f(x)在(-1,1)上为减函数,题型二求函数的单调区间,【例2】求函数f(x)x 的单调区间,分析：利用定义法或导数法,解：方法一：首先确定定义域x|x0，所以要在(-，0)和(0，+)两个区间上分别讨任取x1，x2(0，+)且x1x2， 则f(x2)-f(x1)= 要确定此式的正负只要确定1- 的正负即可,这样，又需要 判断
5、大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+)分为(0,1)与(1，+) (1)当x1、x2(0,1)时，1- 0， f(x2)-f(x1)0，f(x)为增函数； 同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，f(x)为减函数； (4)当x1、x2(-，-1)时，f(x)为增函数,方法二：f(x)= ， 令f(x)0，得x21，即x1或x-1， 令f(x)0，得x21，即-1x1， f(x)的单调增区间为(1，+)和(-，-1)， 单调减区间为(-1,0)和(0,1),解析：yx22|x|3 x22x3，x0， x2 -2x3，x0， -(x+1)2+4， x0， 如图 单调递增
6、区间是(，1和0,1，递减区间是(1,0)和(1，),求函数yx22|x|3的单调区间,【例3】函数f(x)对任意的a、bR，都有 f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.,题型三单调性的应用,解： (1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1， f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10， f(x2)f(x1)， 即f(x)是R上的增函数 (2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1
7、=5， f(2)=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2) f(x)是R上的增函数，3m2-m-22， 解得-1m ，则其解集为 .,已知偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0， 解不等式flog2(x25x4)0.,变式31,f(2)=0， 原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2) 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数， f(x)在(-，0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0. 不等式可化为log2(x2+5x+4)2， 或log2(x2+5x+4)-2， 由得x2+5x+44， x-5或x0，,解析：,.,由得0x2+5x+4 x-4或-1x
8、， 由、得原不等式的解集为,【例4】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0， (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值,题型四函数的最值,解： (1)证明：设x1，x2R，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)， 又x0时，f(x)0，而x1-x20， f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上是减函数 (2)f(x)在R上是减函数， f(x)在-3,3上也是减函数， f(x)在-3,3上的最
9、大值和最小值分别为f(-3)与f(3)， 而f(3)=3f(1)=-2， 由题意知f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0， f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)， f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数f(-3)=-f(3)=2. f(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2.,易错警示,【例】求函数 的单调区间， 并指出每一个单调区间上的单调性 错解设ux24x3，则 在区间2，)上为减函数，在区间(，2上 为增函数,错解分析：由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的单调区间。,正解： 由不等式x2-4x+30，得函数的定义域为 (-，1)(3，+) 设u=x2-4x+3，
10、则 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1， 故由二次函数的性质知： 当x2时，u=x2-4x+3为增函数； 当x2时，u=x2-4x+3为减函数 因为函数定义域为(-，1)(3，+) 且 为减函数， 在(-，1)上为增函数，在(3，+)上为减函数,链接高考,(2010天津)设函数f(x)x21，对任意x ， 恒成立，则实数 m的取值范围是_,知识准备： 1. 不等式恒成立问题转化为求函数的最值； 2. 形如yaf(x)2bf(x)c的类型求最值，换元后利用二次函数求最值,依据题意， 14m2(x21)(x1)214(m21) 在 x 上恒成立，即 在x 上恒成立，令 ，,解析：,当 x 时，函数 取得最小值 ， ，即(3m21)(4m23)0， 解得m 或m .,
